Trojuholník 13 20 21
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 13
b = 20
c = 21
Obsah trojuholníka: S = 126
Obvod trojuholníka: o = 54
Semiperimeter (poloobvod): s = 27
Uhol ∠ A = α = 36,87698976458° = 36°52'12″ = 0,64435011088 rad
Uhol ∠ B = β = 67,3880135052° = 67°22'49″ = 1,17660052071 rad
Uhol ∠ C = γ = 75,75499673022° = 75°45' = 1,32220863377 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 19,38546153846
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 12,6
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 12
Ťažnica: ta = 19,44986503388
Ťažnica: tb = 14,31878210633
Ťažnica: tc = 13.22003787824
Polomer vpísanej kružnice: r = 4,66766666667
Polomer opísanej kružnice: R = 10,83333333333
Súradnice vrcholov: A[21; 0] B[0; 0] C[5; 12]
Ťažisko: T[8,66766666667; 4]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10,5; 2,66766666667]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 4,66766666667]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 143,13301023542° = 143°7'48″ = 0,64435011088 rad
∠ B' = β' = 112,6219864948° = 112°37'11″ = 1,17660052071 rad
∠ C' = γ' = 104,25500326978° = 104°15' = 1,32220863377 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=13 b=20 c=21
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=13+20+21=54
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=254=27
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=27(27−13)(27−20)(27−21) S=15876=126
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=132⋅ 126=19,38 vb=b2 S=202⋅ 126=12,6 vc=c2 S=212⋅ 126=12
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 20⋅ 21202+212−132)=36°52′12" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 13⋅ 21132+212−202)=67°22′49" γ=180°−α−β=180°−36°52′12"−67°22′49"=75°45′
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=27126=4,67
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 4,667⋅ 2713⋅ 20⋅ 21=10,83
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 202+2⋅ 212−132=19,449 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 212+2⋅ 132−202=14,318 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 132+2⋅ 202−212=13,2
Vypočítať ďaľší trojuholník