Trojuholník 14 14 15
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 14 b = 14 c = 15Obsah trojuholníka: S = 88,66219281315
Obvod trojuholníka: o = 43
Semiperimeter (poloobvod): s = 21,5
Uhol ∠ A = α = 57,60876345142° = 57°36'27″ = 1,00554428966 rad
Uhol ∠ B = β = 57,60876345142° = 57°36'27″ = 1,00554428966 rad
Uhol ∠ C = γ = 64,78547309717° = 64°47'5″ = 1,13107068605 rad
Výška trojuholníka: va = 12,66659897331
Výška trojuholníka: vb = 12,66659897331
Výška trojuholníka: vc = 11,82215904175
Ťažnica: ta = 12,70882650271
Ťažnica: tb = 12,70882650271
Ťažnica: tc = 11,82215904175
Polomer vpísanej kružnice: r = 4,12438106108
Polomer opísanej kružnice: R = 8,2989916715
Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[7,5; 11,82215904175]
Ťažisko: T[7,5; 3,94105301392]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; 3,53216737026]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7,5; 4,12438106108]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 122,39223654858° = 122°23'33″ = 1,00554428966 rad
∠ B' = β' = 122,39223654858° = 122°23'33″ = 1,00554428966 rad
∠ C' = γ' = 115,21552690283° = 115°12'55″ = 1,13107068605 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=14 b=14 c=15
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=14+14+15=43
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=243=21,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=21,5(21,5−14)(21,5−14)(21,5−15) S=7860,94=88,66
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=142⋅ 88,66=12,67 vb=b2 S=142⋅ 88,66=12,67 vc=c2 S=152⋅ 88,66=11,82
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 14⋅ 15142+152−142)=57°36′27" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 14⋅ 15142+152−142)=57°36′27" γ=180°−α−β=180°−57°36′27"−57°36′27"=64°47′5"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=21,588,66=4,12
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 4,124⋅ 21,514⋅ 14⋅ 15=8,29
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 142+2⋅ 152−142=12,708 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 152+2⋅ 142−142=12,708 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 142+2⋅ 142−152=11,822
Vypočítať ďaľší trojuholník