Trojuholník 14 16 18

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 14
b = 16
c = 18

Obsah trojuholníka: S = 107,331126292
Obvod trojuholníka: o = 48
Semiperimeter (poloobvod): s = 24

Uhol ∠ A = α = 48,19896851042° = 48°11'23″ = 0,84110686706 rad
Uhol ∠ B = β = 58,41218644948° = 58°24'43″ = 1,01994793577 rad
Uhol ∠ C = γ = 73,3988450401° = 73°23'54″ = 1,28110446254 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 15,333303756
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 13,4166407865
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 11,926569588

Ťažnica: t_a = 15,52441746963
Ťažnica: t_b = 14
Ťažnica: t_c = 12,04215945788

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,4722135955
Polomer opísanej kružnice: R = 9,39114855055

Súradnice vrcholov: A[18; 0] B[0; 0] C[7,33333333333; 11,926569588]
Ťažisko: T[8,44444444444; 3,975523196]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9; 2,6833281573]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8; 4,4722135955]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 131,81103148958° = 131°48'37″ = 0,84110686706 rad
∠ B' = β' = 121,58881355052° = 121°35'17″ = 1,01994793577 rad
∠ C' = γ' = 106,6021549599° = 106°36'6″ = 1,28110446254 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 14 b = 16 c = 18

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 14 + 16 + 18 = 48

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 8}{2} = 24

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 24 (24 - 14) (24 - 16) (24 - 18) S = 11520 = 107, 33

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 0 7 , 3 3}{1 4} = 15, 33 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 0 7 , 3 3}{1 6} = 13, 42 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 0 7 , 3 3}{1 8} = 11, 93

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 6 ^{2} + 1 8 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2 \cdot 1 6 \cdot 1 8}) = 48 ° 1 1^{'} 23 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 4 ^{2} + 1 8 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2 \cdot 1 4 \cdot 1 8}) = 58 ° 2 4^{'} 43 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 48 ° 1 1^{'} 23 " - 58 ° 2 4^{'} 43 " = 73 ° 2 3^{'} 54 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 0 7 , 3 3}{2 4} = 4, 47

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 4 \cdot 1 6 \cdot 1 8}{4 \cdot 4 , 4 7 2 \cdot 2 4} = 9, 39

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 15, 524 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 14 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 12, 042

Vypočítať ďaľší trojuholník