Trojuholník 14 16 20
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 14 b = 16 c = 20Obsah trojuholníka: S = 111,24329773064
Obvod trojuholníka: o = 50
Semiperimeter (poloobvod): s = 25
Uhol ∠ A = α = 44,04986256741° = 44°2'55″ = 0,7698793549 rad
Uhol ∠ B = β = 52,61768015821° = 52°37' = 0,91883364295 rad
Uhol ∠ C = γ = 83,33545727438° = 83°20'4″ = 1,45444626751 rad
Výška trojuholníka: va = 15,89218539009
Výška trojuholníka: vb = 13,90553721633
Výška trojuholníka: vc = 11,12442977306
Ťažnica: ta = 16,70332930885
Ťažnica: tb = 15,29770585408
Ťažnica: tc = 11,22549721603
Polomer vpísanej kružnice: r = 4,45497190923
Polomer opísanej kružnice: R = 10,06880512795
Súradnice vrcholov: A[20; 0] B[0; 0] C[8,5; 11,12442977306]
Ťažisko: T[9,5; 3,70880992435]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10; 1,16986130949]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9; 4,45497190923]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 135,95113743259° = 135°57'5″ = 0,7698793549 rad
∠ B' = β' = 127,38331984179° = 127°23' = 0,91883364295 rad
∠ C' = γ' = 96,66554272562° = 96°39'56″ = 1,45444626751 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=14 b=16 c=20
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=14+16+20=50
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=250=25
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=25(25−14)(25−16)(25−20) S=12375=111,24
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=142⋅ 111,24=15,89 vb=b2 S=162⋅ 111,24=13,91 vc=c2 S=202⋅ 111,24=11,12
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 16⋅ 20162+202−142)=44°2′55" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 14⋅ 20142+202−162)=52°37′ γ=180°−α−β=180°−44°2′55"−52°37′=83°20′4"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=25111,24=4,45
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 4,45⋅ 2514⋅ 16⋅ 20=10,07
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 162+2⋅ 202−142=16,703 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 202+2⋅ 142−162=15,297 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 142+2⋅ 162−202=11,225
Vypočítať ďaľší trojuholník