Trojuholník 14 17 19
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 14
b = 17
c = 19
Obsah trojuholníka: S = 114,89112529308
Obvod trojuholníka: o = 50
Semiperimeter (poloobvod): s = 25
Uhol ∠ A = α = 45,3499014834° = 45°20'56″ = 0,79114896214 rad
Uhol ∠ B = β = 59,75109669494° = 59°45'3″ = 1,04328511045 rad
Uhol ∠ C = γ = 74.99000182166° = 74°54' = 1,30772519277 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 16,4133036133
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 13,51766179919
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 12,0943816098
Ťažnica: ta = 16,61332477258
Ťažnica: tb = 14,36114066163
Ťažnica: tc = 12,33989626793
Polomer vpísanej kružnice: r = 4,59656501172
Polomer opísanej kružnice: R = 9,84397395029
Súradnice vrcholov: A[19; 0] B[0; 0] C[7,05326315789; 12,0943816098]
Ťažisko: T[8,68442105263; 4,03112720327]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9,5; 2,56332934839]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8; 4,59656501172]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 134,6510985166° = 134°39'4″ = 0,79114896214 rad
∠ B' = β' = 120,24990330506° = 120°14'57″ = 1,04328511045 rad
∠ C' = γ' = 105.10999817834° = 105°6' = 1,30772519277 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=14 b=17 c=19
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=14+17+19=50
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=250=25
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=25(25−14)(25−17)(25−19) S=13200=114,89
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=142⋅ 114,89=16,41 vb=b2 S=172⋅ 114,89=13,52 vc=c2 S=192⋅ 114,89=12,09
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 17⋅ 19172+192−142)=45°20′56" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 14⋅ 19142+192−172)=59°45′3" γ=180°−α−β=180°−45°20′56"−59°45′3"=74°54′
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=25114,89=4,6
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 4,596⋅ 2514⋅ 17⋅ 19=9,84
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 172+2⋅ 192−142=16,613 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 192+2⋅ 142−172=14,361 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 142+2⋅ 172−192=12,339
Vypočítať ďaľší trojuholník