Trojuholník 14 19 20

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 14 b = 19 c = 20

Obsah trojuholníka: S = 127,07765025487
Obvod trojuholníka: o = 53
Semiperimeter (poloobvod): s = 26,5

Uhol ∠ A = α = 41,97663420173° = 41°58'35″ = 0,73326253761 rad
Uhol ∠ B = β = 65,18879583752° = 65°11'17″ = 1,13877445063 rad
Uhol ∠ C = γ = 72,83656996075° = 72°50'9″ = 1,27112227711 rad

Výška trojuholníka: v_a = 18,15437860784
Výška trojuholníka: v_b = 13,37664739525
Výška trojuholníka: v_c = 12,70876502549

Ťažnica: t_a = 18,2077141456
Ťažnica: t_b = 14,41435353054
Ťažnica: t_c = 13,36603892159

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,79553397188
Polomer opísanej kružnice: R = 10,46661363299

Súradnice vrcholov: A[20; 0] B[0; 0] C[5,875; 12,70876502549]
Ťažisko: T[8,625; 4,23658834183]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10; 3,08986906086]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7,5; 4,79553397188]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 138,02436579827° = 138°1'25″ = 0,73326253761 rad
∠ B' = β' = 114,81220416248° = 114°48'43″ = 1,13877445063 rad
∠ C' = γ' = 107,16443003925° = 107°9'51″ = 1,27112227711 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 14 b = 19 c = 20

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 14 + 19 + 20 = 53

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 3}{2} = 26, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 26, 5 (26, 5 - 14) (26, 5 - 19) (26, 5 - 20) S = 16148, 44 = 127, 08

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 2 7 , 0 8}{1 4} = 18, 15 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 2 7 , 0 8}{1 9} = 13, 38 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 2 7 , 0 8}{2 0} = 12, 71

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 9 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2 \cdot 1 9 \cdot 2 0}) = 41 ° 5 8^{'} 35 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 4 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2 \cdot 1 4 \cdot 2 0}) = 65 ° 1 1^{'} 17 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 41 ° 5 8^{'} 35 " - 65 ° 1 1^{'} 17 " = 72 ° 5 0^{'} 9 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 2 7 , 0 8}{2 6 , 5} = 4, 8

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 4 \cdot 1 9 \cdot 2 0}{4 \cdot 4 , 7 9 5 \cdot 2 6 , 5} = 10, 47

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 18, 207 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2} = 14, 414 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 1 9 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 13, 36

Vypočítať ďaľší trojuholník