Trojuholník 14 19 24
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 14
b = 19
c = 24
Obsah trojuholníka: S = 132,91551515065
Obvod trojuholníka: o = 57
Semiperimeter (poloobvod): s = 28,5
Uhol ∠ A = α = 35,65990876961° = 35°39'33″ = 0,62223684886 rad
Uhol ∠ B = β = 52,29441992062° = 52°17'39″ = 0,91327059558 rad
Uhol ∠ C = γ = 92,04767130977° = 92°2'48″ = 1,60765182092 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 18,98878787866
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 13,99110685796
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 11,07662626255
Ťažnica: ta = 20,48216991483
Ťažnica: tb = 17,19773835219
Ťažnica: tc = 11,59774135047
Polomer vpísanej kružnice: r = 4,66436895265
Polomer opísanej kružnice: R = 12,00876603902
Súradnice vrcholov: A[24; 0] B[0; 0] C[8,56325; 11,07662626255]
Ťažisko: T[10,85441666667; 3,69220875418]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12; -0,42988450139]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9,5; 4,66436895265]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 144,34109123039° = 144°20'27″ = 0,62223684886 rad
∠ B' = β' = 127,70658007938° = 127°42'21″ = 0,91327059558 rad
∠ C' = γ' = 87,95332869023° = 87°57'12″ = 1,60765182092 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=14 b=19 c=24
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=14+19+24=57
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=257=28,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=28,5(28,5−14)(28,5−19)(28,5−24) S=17666,44=132,92
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=142⋅ 132,92=18,99 vb=b2 S=192⋅ 132,92=13,99 vc=c2 S=242⋅ 132,92=11,08
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 19⋅ 24192+242−142)=35°39′33" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 14⋅ 24142+242−192)=52°17′39" γ=180°−α−β=180°−35°39′33"−52°17′39"=92°2′48"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=28,5132,92=4,66
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 4,664⋅ 28,514⋅ 19⋅ 24=12,01
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 192+2⋅ 242−142=20,482 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 242+2⋅ 142−192=17,197 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 142+2⋅ 192−242=11,597
Vypočítať ďaľší trojuholník