Trojuholník 14 27 28

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 14
b = 27
c = 28

Obsah trojuholníka: S = 185,6843702839
Obvod trojuholníka: o = 69
Semiperimeter (poloobvod): s = 34,5

Uhol ∠ A = α = 29,42112427193° = 29°25'16″ = 0,51334975555 rad
Uhol ∠ B = β = 71,32878183712° = 71°19'40″ = 1,24549052788 rad
Uhol ∠ C = γ = 79,25109389095° = 79°15'3″ = 1,38331898193 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 26,52662432627
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 13,75443483584
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 13,26331216314

Ťažnica: t_a = 26,59988721565
Ťažnica: t_b = 17,54328047928
Ťažnica: t_c = 16,32548277173

Polomer vpísanej kružnice: r = 5,38221363142
Polomer opísanej kružnice: R = 14,25500389617

Súradnice vrcholov: A[28; 0] B[0; 0] C[4,48221428571; 13,26331216314]
Ťažisko: T[10,82773809524; 4,42110405438]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[14; 2,65877453619]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7,5; 5,38221363142]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 150,57987572807° = 150°34'44″ = 0,51334975555 rad
∠ B' = β' = 108,67221816288° = 108°40'20″ = 1,24549052788 rad
∠ C' = γ' = 100,74990610905° = 100°44'57″ = 1,38331898193 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 14 b = 27 c = 28

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 14 + 27 + 28 = 69

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 9}{2} = 34, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 34, 5 (34, 5 - 14) (34, 5 - 27) (34, 5 - 28) S = 34478, 44 = 185, 68

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 8 5 , 6 8}{1 4} = 26, 53 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 8 5 , 6 8}{2 7} = 13, 75 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 8 5 , 6 8}{2 8} = 13, 26

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 7 ^{2} + 2 8 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2 \cdot 2 7 \cdot 2 8}) = 29 ° 2 5^{'} 16 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 4 ^{2} + 2 8 ^{2} - 2 7 ^{2}}{2 \cdot 1 4 \cdot 2 8}) = 71 ° 1 9^{'} 40 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 29 ° 2 5^{'} 16 " - 71 ° 1 9^{'} 40 " = 79 ° 1 5^{'} 3 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 8 5 , 6 8}{3 4 , 5} = 5, 38

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 4 \cdot 2 7 \cdot 2 8}{4 \cdot 5 , 3 8 2 \cdot 3 4 , 5} = 14, 25

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 7 ^{2} + 2 \cdot 2 8 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 26, 599 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 8 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 2 7 ^{2}}{2} = 17, 543 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 2 7 ^{2} - 2 8 ^{2}}{2} = 16, 325

Vypočítať ďaľší trojuholník