Trojuholník 14 29 29

Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 14
b = 29
c = 29

Obsah trojuholníka: S = 196,99774619126
Obvod trojuholníka: o = 72
Semiperimeter (poloobvod): s = 36

Uhol ∠ A = α = 27,93659253493° = 27°56'9″ = 0,48875738769 rad
Uhol ∠ B = β = 76,03220373253° = 76°1'55″ = 1,32770093883 rad
Uhol ∠ C = γ = 76,03220373253° = 76°1'55″ = 1,32770093883 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 28,14224945589
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 13,5866031856
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 13,5866031856

Ťažnica: t_a = 28,14224945589
Ťažnica: t_b = 17,55770498661
Ťažnica: t_c = 17,55770498661

Polomer vpísanej kružnice: r = 5,47221517198
Polomer opísanej kružnice: R = 14,94218168713

Súradnice vrcholov: A[29; 0] B[0; 0] C[3,37993103448; 13,5866031856]
Ťažisko: T[10,79331034483; 4,52986772853]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[14,5; 3,60766454517]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 5,47221517198]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 152,06440746507° = 152°3'51″ = 0,48875738769 rad
∠ B' = β' = 103,96879626747° = 103°58'5″ = 1,32770093883 rad
∠ C' = γ' = 103,96879626747° = 103°58'5″ = 1,32770093883 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 14 b = 29 c = 29

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 14 + 29 + 29 = 72

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 2}{2} = 36

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 36 (36 - 14) (36 - 29) (36 - 29) S = 38808 = 197

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 9 7}{1 4} = 28, 14 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 9 7}{2 9} = 13, 59 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 9 7}{2 9} = 13, 59

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 9 ^{2} + 2 9 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2 \cdot 2 9 \cdot 2 9}) = 27 ° 5 6^{'} 9 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 4 ^{2} + 2 9 ^{2} - 2 9 ^{2}}{2 \cdot 1 4 \cdot 2 9}) = 76 ° 1^{'} 55 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 27 ° 5 6^{'} 9 " - 76 ° 1^{'} 55 " = 76 ° 1^{'} 55 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 9 7}{3 6} = 5, 47

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 4 \cdot 2 9 \cdot 2 9}{4 \cdot 5 , 4 7 2 \cdot 3 6} = 14, 94

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 ^{2} + 2 \cdot 2 9 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 28, 142 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 2 9 ^{2}}{2} = 17, 557 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 2 9 ^{2} - 2 9 ^{2}}{2} = 17, 557

Vypočítať ďaľší trojuholník