Trojuholník 15 15 28

Tupouhlý rovnoramenný trojuholník.

Strany: a = 15 b = 15 c = 28

Obsah trojuholníka: S = 75,39223072999
Obvod trojuholníka: o = 58
Semiperimeter (poloobvod): s = 29

Uhol ∠ A = α = 21,03994697813° = 21°2'22″ = 0,36772080206 rad
Uhol ∠ B = β = 21,03994697813° = 21°2'22″ = 0,36772080206 rad
Uhol ∠ C = γ = 137,92110604374° = 137°55'16″ = 2,40771766125 rad

Výška trojuholníka: v_a = 10,052230764
Výška trojuholníka: v_b = 10,052230764
Výška trojuholníka: v_c = 5,38551648071

Ťažnica: t_a = 21,17219153597
Ťažnica: t_b = 21,17219153597
Ťažnica: t_c = 5,38551648071

Polomer vpísanej kružnice: r = 2.65997347345
Polomer opísanej kružnice: R = 20,89107255449

Súradnice vrcholov: A[28; 0] B[0; 0] C[14; 5,38551648071]
Ťažisko: T[14; 1,79550549357]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[14; -15,50655607378]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[14; 2.65997347345]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 158,96105302187° = 158°57'38″ = 0,36772080206 rad
∠ B' = β' = 158,96105302187° = 158°57'38″ = 0,36772080206 rad
∠ C' = γ' = 42,07989395626° = 42°4'44″ = 2,40771766125 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 15 b = 15 c = 28

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 15 + 15 + 28 = 58

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 8}{2} = 29

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 29 (29 - 15) (29 - 15) (29 - 28) S = 5684 = 75, 39

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 5 , 3 9}{1 5} = 10, 05 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 5 , 3 9}{1 5} = 10, 05 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 5 , 3 9}{2 8} = 5, 39

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 2 8 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 2 8}) = 21 ° 2^{'} 22 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 2 8 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 2 8}) = 21 ° 2^{'} 22 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 21 ° 2^{'} 22 " - 21 ° 2^{'} 22 " = 137 ° 5 5^{'} 16 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 5 , 3 9}{2 9} = 2, 6

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 5 \cdot 1 5 \cdot 2 8}{4 \cdot 2 , 6 \cdot 2 9} = 20, 89

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 2 8 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 21, 172 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 8 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 21, 172 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 2 8 ^{2}}{2} = 5, 385

Vypočítať ďaľší trojuholník