Trojuholník 15 16 26
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 15
b = 16
c = 26
Obsah trojuholníka: S = 109,65114363791
Obvod trojuholníka: o = 57
Semiperimeter (poloobvod): s = 28,5
Uhol ∠ A = α = 31,81444665509° = 31°48'52″ = 0,55552671911 rad
Uhol ∠ B = β = 34,21660511313° = 34°12'58″ = 0,59771827493 rad
Uhol ∠ C = γ = 113,96994823178° = 113°58'10″ = 1,98991427132 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 14,62201915172
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 13,70664295474
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 8,43547258753
Ťažnica: ta = 20,242228248
Ťažnica: tb = 19,66596032513
Ťažnica: tc = 8,45657672626
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,84774188203
Polomer opísanej kružnice: R = 14,22768998156
Súradnice vrcholov: A[26; 0] B[0; 0] C[12,40438461538; 8,43547258753]
Ťažisko: T[12,80112820513; 2,81215752918]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[13; -5,78796780501]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[12,5; 3,84774188203]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 148,18655334491° = 148°11'8″ = 0,55552671911 rad
∠ B' = β' = 145,78439488687° = 145°47'2″ = 0,59771827493 rad
∠ C' = γ' = 66,03105176822° = 66°1'50″ = 1,98991427132 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=15 b=16 c=26
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=15+16+26=57
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=257=28,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=28,5(28,5−15)(28,5−16)(28,5−26) S=12023,44=109,65
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=152⋅ 109,65=14,62 vb=b2 S=162⋅ 109,65=13,71 vc=c2 S=262⋅ 109,65=8,43
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 16⋅ 26162+262−152)=31°48′52" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 15⋅ 26152+262−162)=34°12′58" γ=180°−α−β=180°−31°48′52"−34°12′58"=113°58′10"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=28,5109,65=3,85
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,847⋅ 28,515⋅ 16⋅ 26=14,23
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 162+2⋅ 262−152=20,242 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 262+2⋅ 152−162=19,66 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 152+2⋅ 162−262=8,456
Vypočítať ďaľší trojuholník