Trojuholník 15 18 26

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 15
b = 18
c = 26

Obsah trojuholníka: S = 131,21333282102
Obvod trojuholníka: o = 59
Semiperimeter (poloobvod): s = 29,5

Uhol ∠ A = α = 34,10770388766° = 34°6'25″ = 0,59552801265 rad
Uhol ∠ B = β = 42,2990422069° = 42°17'26″ = 0,73881071072 rad
Uhol ∠ C = γ = 103,60325390543° = 103°36'9″ = 1,80882054199 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 17,4955110428
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 14,579925869
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 10,09333329392

Ťažnica: t_a = 21,06553744329
Ťažnica: t_b = 19,22223827867
Ťažnica: t_c = 10,27113192921

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,44879094309
Polomer opísanej kružnice: R = 13,37551656477

Súradnice vrcholov: A[26; 0] B[0; 0] C[11,09661538462; 10,09333329392]
Ťažisko: T[12,36553846154; 3,36444443131]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[13; -3,14656408097]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[11,5; 4,44879094309]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 145,89329611234° = 145°53'35″ = 0,59552801265 rad
∠ B' = β' = 137,7109577931° = 137°42'34″ = 0,73881071072 rad
∠ C' = γ' = 76,39774609457° = 76°23'51″ = 1,80882054199 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 15 b = 18 c = 26

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 15 + 18 + 26 = 59

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 9}{2} = 29, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 29, 5 (29, 5 - 15) (29, 5 - 18) (29, 5 - 26) S = 17216, 94 = 131, 21

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 3 1 , 2 1}{1 5} = 17, 5 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 3 1 , 2 1}{1 8} = 14, 58 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 3 1 , 2 1}{2 6} = 10, 09

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 8 ^{2} + 2 6 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 8 \cdot 2 6}) = 34 ° 6^{'} 25 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 2 6 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 2 6}) = 42 ° 1 7^{'} 26 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 34 ° 6^{'} 25 " - 42 ° 1 7^{'} 26 " = 103 ° 3 6^{'} 9 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 3 1 , 2 1}{2 9 , 5} = 4, 45

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 5 \cdot 1 8 \cdot 2 6}{4 \cdot 4 , 4 4 8 \cdot 2 9 , 5} = 13, 38

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 2 6 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 21, 065 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 6 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 19, 222 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2} = 10, 271

Vypočítať ďaľší trojuholník