Trojuholník 15 20 22

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 15
b = 20
c = 22

Obsah trojuholníka: S = 145,79993055539
Obvod trojuholníka: o = 57
Semiperimeter (poloobvod): s = 28,5

Uhol ∠ A = α = 41,50879617794° = 41°30'29″ = 0,72444505988 rad
Uhol ∠ B = β = 62,08436609946° = 62°5'1″ = 1,0843564296 rad
Uhol ∠ C = γ = 76,40883772261° = 76°24'30″ = 1,33435777587 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 19,44399074072
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 14,58799305554
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 13,25444823231

Ťažnica: t_a = 19,64105193414
Ťažnica: t_b = 15,95330561335
Ťažnica: t_c = 13,83883525031

Polomer vpísanej kružnice: r = 5,11657651072
Polomer opísanej kružnice: R = 11,31769263306

Súradnice vrcholov: A[22; 0] B[0; 0] C[7,02327272727; 13,25444823231]
Ťažisko: T[9,67442424242; 4,41881607744]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11; 2,65994776877]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8,5; 5,11657651072]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 138,49220382206° = 138°29'31″ = 0,72444505988 rad
∠ B' = β' = 117,91663390054° = 117°54'59″ = 1,0843564296 rad
∠ C' = γ' = 103,5921622774° = 103°35'30″ = 1,33435777587 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 15 b = 20 c = 22

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 15 + 20 + 22 = 57

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 7}{2} = 28, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 28, 5 (28, 5 - 15) (28, 5 - 20) (28, 5 - 22) S = 21257, 44 = 145, 8

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 4 5 , 8}{1 5} = 19, 44 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 4 5 , 8}{2 0} = 14, 58 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 4 5 , 8}{2 2} = 13, 25

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 2 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 2}) = 41 ° 3 0^{'} 29 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 2 2 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 2 2}) = 62 ° 5^{'} 1 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 41 ° 3 0^{'} 29 " - 62 ° 5^{'} 1 " = 76 ° 2 4^{'} 30 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 4 5 , 8}{2 8 , 5} = 5, 12

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 5 \cdot 2 0 \cdot 2 2}{4 \cdot 5 , 1 1 6 \cdot 2 8 , 5} = 11, 32

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 19, 641 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 15, 953 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 13, 838

Vypočítať ďaľší trojuholník