Trojuholník 15 20 26

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 15
b = 20
c = 26

Obsah trojuholníka: S = 149,45771426865
Obvod trojuholníka: o = 61
Semiperimeter (poloobvod): s = 30,5

Uhol ∠ A = α = 35,08880894599° = 35°5'17″ = 0,61224026893 rad
Uhol ∠ B = β = 50,03658856705° = 50°2'9″ = 0,87332909491 rad
Uhol ∠ C = γ = 94,87660248696° = 94°52'34″ = 1,65658990152 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 19,92876190249
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 14,94657142686
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 11,49767032836

Ťažnica: t_a = 21,94988040676
Ťažnica: t_b = 18,72216452268
Ťažnica: t_c = 11,97991485507

Polomer vpísanej kružnice: r = 4.99002341864
Polomer opísanej kružnice: R = 13,047721852

Súradnice vrcholov: A[26; 0] B[0; 0] C[9,63546153846; 11,49767032836]
Ťažisko: T[11,87882051282; 3,83222344279]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[13; -1,10990135742]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[10,5; 4.99002341864]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 144,91219105401° = 144°54'43″ = 0,61224026893 rad
∠ B' = β' = 129,96441143295° = 129°57'51″ = 0,87332909491 rad
∠ C' = γ' = 85,12439751304° = 85°7'26″ = 1,65658990152 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 15 b = 20 c = 26

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 15 + 20 + 26 = 61

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 1}{2} = 30, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 30, 5 (30, 5 - 15) (30, 5 - 20) (30, 5 - 26) S = 22337, 44 = 149, 46

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 4 9 , 4 6}{1 5} = 19, 93 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 4 9 , 4 6}{2 0} = 14, 95 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 4 9 , 4 6}{2 6} = 11, 5

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 6 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 6}) = 35 ° 5^{'} 17 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 2 6 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 2 6}) = 50 ° 2^{'} 9 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 35 ° 5^{'} 17 " - 50 ° 2^{'} 9 " = 94 ° 5 2^{'} 34 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 4 9 , 4 6}{3 0 , 5} = 4, 9

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 5 \cdot 2 0 \cdot 2 6}{4 \cdot 4 , 9 \cdot 3 0 , 5} = 13, 05

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 6 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 21, 949 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 6 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 18, 722 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2} = 11, 979

Vypočítať ďaľší trojuholník