Trojuholník 15 20 30

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 15 b = 20 c = 30

Obsah trojuholníka: S = 133,31770562981
Obvod trojuholníka: o = 65
Semiperimeter (poloobvod): s = 32,5

Uhol ∠ A = α = 26,38443297494° = 26°23'4″ = 0,46604934251 rad
Uhol ∠ B = β = 36,33660575146° = 36°20'10″ = 0,63441838408 rad
Uhol ∠ C = γ = 117,2879612736° = 117°16'47″ = 2,04769153877 rad

Výška trojuholníka: v_a = 17,77656075064
Výška trojuholníka: v_b = 13,33217056298
Výška trojuholníka: v_c = 8,88878037532

Ťažnica: t_a = 24,3676985862
Ťažnica: t_b = 21,50658131676
Ťažnica: t_c = 9,35441434669

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,10220632707
Polomer opísanej kružnice: R = 16,87770603138

Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[12,08333333333; 8,88878037532]
Ťažisko: T[14,02877777778; 2,96326012511]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; -7,73553193105]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[12,5; 4,10220632707]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 153,61656702506° = 153°36'56″ = 0,46604934251 rad
∠ B' = β' = 143,66439424854° = 143°39'50″ = 0,63441838408 rad
∠ C' = γ' = 62,7220387264° = 62°43'13″ = 2,04769153877 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 15 b = 20 c = 30

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 15 + 20 + 30 = 65

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 5}{2} = 32, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 32, 5 (32, 5 - 15) (32, 5 - 20) (32, 5 - 30) S = 17773, 44 = 133, 32

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 3 3 , 3 2}{1 5} = 17, 78 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 3 3 , 3 2}{2 0} = 13, 33 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 3 3 , 3 2}{3 0} = 8, 89

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 3 0 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 3 0}) = 26 ° 2 3^{'} 4 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 3 0 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 3 0}) = 36 ° 2 0^{'} 10 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 26 ° 2 3^{'} 4 " - 36 ° 2 0^{'} 10 " = 117 ° 1 6^{'} 47 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 3 3 , 3 2}{3 2 , 5} = 4, 1

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 5 \cdot 2 0 \cdot 3 0}{4 \cdot 4 , 1 0 2 \cdot 3 2 , 5} = 16, 88

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 3 0 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 24, 367 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 0 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 21, 506 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2} = 9, 354

Vypočítať ďaľší trojuholník