Trojuholník 15 30 30

Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 15
b = 30
c = 30

Obsah trojuholníka: S = 217,85553132242
Obvod trojuholníka: o = 75
Semiperimeter (poloobvod): s = 37,5

Uhol ∠ A = α = 28,95550243719° = 28°57'18″ = 0,50553605103 rad
Uhol ∠ B = β = 75,52224878141° = 75°31'21″ = 1,31881160717 rad
Uhol ∠ C = γ = 75,52224878141° = 75°31'21″ = 1,31881160717 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 29,04773750966
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 14,52436875483
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 14,52436875483

Ťažnica: t_a = 29,04773750966
Ťažnica: t_b = 18,37111730709
Ťažnica: t_c = 18,37111730709

Polomer vpísanej kružnice: r = 5,80994750193
Polomer opísanej kružnice: R = 15,49219333848

Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[3,75; 14,52436875483]
Ťažisko: T[11,25; 4,84112291828]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; 3,87329833462]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7,5; 5,80994750193]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 151,04549756281° = 151°2'42″ = 0,50553605103 rad
∠ B' = β' = 104,47875121859° = 104°28'39″ = 1,31881160717 rad
∠ C' = γ' = 104,47875121859° = 104°28'39″ = 1,31881160717 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 15 b = 30 c = 30

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 15 + 30 + 30 = 75

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 5}{2} = 37, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 37, 5 (37, 5 - 15) (37, 5 - 30) (37, 5 - 30) S = 47460, 94 = 217, 86

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 1 7 , 8 6}{1 5} = 29, 05 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 1 7 , 8 6}{3 0} = 14, 52 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 1 7 , 8 6}{3 0} = 14, 52

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{3 0 ^{2} + 3 0 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 3 0 \cdot 3 0}) = 28 ° 5 7^{'} 18 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 3 0 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 3 0}) = 75 ° 3 1^{'} 21 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 28 ° 5 7^{'} 18 " - 75 ° 3 1^{'} 21 " = 75 ° 3 1^{'} 21 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 1 7 , 8 6}{3 7 , 5} = 5, 81

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 5 \cdot 3 0 \cdot 3 0}{4 \cdot 5 , 8 0 9 \cdot 3 7 , 5} = 15, 49

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 0 ^{2} + 2 \cdot 3 0 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 29, 047 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 0 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2} = 18, 371 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 3 0 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2} = 18, 371

Vypočítať ďaľší trojuholník