Trojuholník 16 16 23
Tupouhlý rovnoramenný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 16
b = 16
c = 23
Obsah trojuholníka: S = 127,92994239024
Obvod trojuholníka: o = 55
Semiperimeter (poloobvod): s = 27,5
Uhol ∠ A = α = 44,04986256741° = 44°2'55″ = 0,7698793549 rad
Uhol ∠ B = β = 44,04986256741° = 44°2'55″ = 0,7698793549 rad
Uhol ∠ C = γ = 91,90327486518° = 91°54'10″ = 1,60440055556 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 15,99111779878
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 15,99111779878
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 11,12442977306
Ťažnica: ta = 18,12545689604
Ťažnica: tb = 18,12545689604
Ťažnica: tc = 11,12442977306
Polomer vpísanej kružnice: r = 4,6521979051
Polomer opísanej kružnice: R = 11,50663443194
Súradnice vrcholov: A[23; 0] B[0; 0] C[11,5; 11,12442977306]
Ťažisko: T[11,5; 3,70880992435]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11,5; -0,38220465887]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[11,5; 4,6521979051]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 135,95113743259° = 135°57'5″ = 0,7698793549 rad
∠ B' = β' = 135,95113743259° = 135°57'5″ = 0,7698793549 rad
∠ C' = γ' = 88,09772513482° = 88°5'50″ = 1,60440055556 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=16 b=16 c=23
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=16+16+23=55
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=255=27,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=27,5(27,5−16)(27,5−16)(27,5−23) S=16365,94=127,93
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=162⋅ 127,93=15,99 vb=b2 S=162⋅ 127,93=15,99 vc=c2 S=232⋅ 127,93=11,12
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 16⋅ 23162+232−162)=44°2′55" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 16⋅ 23162+232−162)=44°2′55" γ=180°−α−β=180°−44°2′55"−44°2′55"=91°54′10"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=27,5127,93=4,65
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 4,652⋅ 27,516⋅ 16⋅ 23=11,51
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 162+2⋅ 232−162=18,125 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 232+2⋅ 162−162=18,125 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 162+2⋅ 162−232=11,124
Vypočítať ďaľší trojuholník