Trojuholník 16 20 25

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 16 b = 20 c = 25

Obsah trojuholníka: S = 159,81221944659
Obvod trojuholníka: o = 61
Semiperimeter (poloobvod): s = 30,5

Uhol ∠ A = α = 39,73658255397° = 39°44'9″ = 0,69435209867 rad
Uhol ∠ B = β = 53,04105251447° = 53°2'26″ = 0,92657318008 rad
Uhol ∠ C = γ = 87,22436493156° = 87°13'25″ = 1,52223398662 rad

Výška trojuholníka: v_a = 19,97765243082
Výška trojuholníka: v_b = 15,98112194466
Výška trojuholníka: v_c = 12,78549755573

Ťažnica: t_a = 21,17878185845
Ťažnica: t_b = 18,45326420872
Ťažnica: t_c = 13,10553424221

Polomer vpísanej kružnice: r = 5,24397440808
Polomer opísanej kružnice: R = 12,51546895497

Súradnice vrcholov: A[25; 0] B[0; 0] C[9,62; 12,78549755573]
Ťažisko: T[11,54; 4,26216585191]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12,5; 0,60661802751]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[10,5; 5,24397440808]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 140,26441744603° = 140°15'51″ = 0,69435209867 rad
∠ B' = β' = 126,95994748553° = 126°57'34″ = 0,92657318008 rad
∠ C' = γ' = 92,77663506844° = 92°46'35″ = 1,52223398662 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 16 b = 20 c = 25

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 16 + 20 + 25 = 61

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 1}{2} = 30, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 30, 5 (30, 5 - 16) (30, 5 - 20) (30, 5 - 25) S = 25539, 94 = 159, 81

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 5 9 , 8 1}{1 6} = 19, 98 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 5 9 , 8 1}{2 0} = 15, 98 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 5 9 , 8 1}{2 5} = 12, 78

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 5 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 5}) = 39 ° 4 4^{'} 9 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 6 ^{2} + 2 5 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 1 6 \cdot 2 5}) = 53 ° 2^{'} 26 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 39 ° 4 4^{'} 9 " - 53 ° 2^{'} 26 " = 87 ° 1 3^{'} 25 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 5 9 , 8 1}{3 0 , 5} = 5, 24

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 6 \cdot 2 0 \cdot 2 5}{4 \cdot 5 , 2 4 \cdot 3 0 , 5} = 12, 51

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 21, 178 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 18, 453 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 13, 105

Vypočítať ďaľší trojuholník