Trojuholník 16 30 30

Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 16
b = 30
c = 30

Obsah trojuholníka: S = 231,30993167168
Obvod trojuholníka: o = 76
Semiperimeter (poloobvod): s = 38

Uhol ∠ A = α = 30,93220199068° = 30°55'55″ = 0,54398655917 rad
Uhol ∠ B = β = 74,53439900466° = 74°32'2″ = 1,3010863531 rad
Uhol ∠ C = γ = 74,53439900466° = 74°32'2″ = 1,3010863531 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 28,91436645896
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 15,42106211145
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 15,42106211145

Ťažnica: t_a = 28,91436645896
Ťažnica: t_b = 18,78882942281
Ťažnica: t_c = 18,78882942281

Polomer vpísanej kružnice: r = 6,0877087282
Polomer opísanej kružnice: R = 15,5643575437

Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[4,26766666667; 15,42106211145]
Ťažisko: T[11,42222222222; 5,14402070382]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; 4,15502867832]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8; 6,0877087282]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 149,06879800932° = 149°4'5″ = 0,54398655917 rad
∠ B' = β' = 105,46660099534° = 105°27'58″ = 1,3010863531 rad
∠ C' = γ' = 105,46660099534° = 105°27'58″ = 1,3010863531 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 16 b = 30 c = 30

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 16 + 30 + 30 = 76

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 6}{2} = 38

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 38 (38 - 16) (38 - 30) (38 - 30) S = 53504 = 231, 31

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 3 1 , 3 1}{1 6} = 28, 91 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 3 1 , 3 1}{3 0} = 15, 42 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 3 1 , 3 1}{3 0} = 15, 42

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{3 0 ^{2} + 3 0 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2 \cdot 3 0 \cdot 3 0}) = 30 ° 5 5^{'} 55 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 6 ^{2} + 3 0 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2 \cdot 1 6 \cdot 3 0}) = 74 ° 3 2^{'} 2 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 30 ° 5 5^{'} 55 " - 74 ° 3 2^{'} 2 " = 74 ° 3 2^{'} 2 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 3 1 , 3 1}{3 8} = 6, 09

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 6 \cdot 3 0 \cdot 3 0}{4 \cdot 6 , 0 8 7 \cdot 3 8} = 15, 56

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 0 ^{2} + 2 \cdot 3 0 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 28, 914 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 0 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2} = 18, 788 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 3 0 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2} = 18, 788

Vypočítať ďaľší trojuholník