Trojuholník 17 23 29

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 17
b = 23
c = 29

Obsah trojuholníka: S = 195,41554228816
Obvod trojuholníka: o = 69
Semiperimeter (poloobvod): s = 34,5

Uhol ∠ A = α = 35,87703643042° = 35°52'13″ = 0,6266055961 rad
Uhol ∠ B = β = 52,44442226556° = 52°26'39″ = 0,9155324359 rad
Uhol ∠ C = γ = 91,68554130402° = 91°41'7″ = 1.66002123336 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 22,99900497508
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 16,9932645468
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 13,4776925716

Ťažnica: t_a = 24,7543787589
Ťažnica: t_b = 20,80326440627
Ťažnica: t_c = 14,09878721799

Polomer vpísanej kružnice: r = 5,6644215156
Polomer opísanej kružnice: R = 14,50662756982

Súradnice vrcholov: A[29; 0] B[0; 0] C[10,36220689655; 13,4776925716]
Ťažisko: T[13,12106896552; 4,4922308572]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[14,5; -0,42766551676]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[11,5; 5,6644215156]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 144,13296356958° = 144°7'47″ = 0,6266055961 rad
∠ B' = β' = 127,55657773444° = 127°33'21″ = 0,9155324359 rad
∠ C' = γ' = 88,31545869598° = 88°18'53″ = 1.66002123336 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 17 b = 23 c = 29

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 17 + 23 + 29 = 69

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 9}{2} = 34, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 34, 5 (34, 5 - 17) (34, 5 - 23) (34, 5 - 29) S = 38187, 19 = 195, 42

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 9 5 , 4 2}{1 7} = 22, 99 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 9 5 , 4 2}{2 3} = 16, 99 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 9 5 , 4 2}{2 9} = 13, 48

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 3 ^{2} + 2 9 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2 \cdot 2 3 \cdot 2 9}) = 35 ° 5 2^{'} 13 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 7 ^{2} + 2 9 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2 \cdot 1 7 \cdot 2 9}) = 52 ° 2 6^{'} 39 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 35 ° 5 2^{'} 13 " - 52 ° 2 6^{'} 39 " = 91 ° 4 1^{'} 7 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 9 5 , 4 2}{3 4 , 5} = 5, 66

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 7 \cdot 2 3 \cdot 2 9}{4 \cdot 5 , 6 6 4 \cdot 3 4 , 5} = 14, 51

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 2 9 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 24, 754 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 20, 803 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 2 9 ^{2}}{2} = 14, 098

Vypočítať ďaľší trojuholník