Trojuholník SSU

Trojuholník má dve riešenia, strana c=199.90325874076 a c=94.54660498791

#1 Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 170
b = 100
c = 199,90325874076

Obsah trojuholníka: S = 8495,86599648238
Obvod trojuholníka: o = 469,90325874076
Semiperimeter (poloobvod): s = 234,95112937038

Uhol ∠ A = α = 58,21216693829° = 58°12'42″ = 1,01659852938 rad
Uhol ∠ B = β = 30° = 0,52435987756 rad
Uhol ∠ C = γ = 91,78883306171° = 91°47'18″ = 1,60220085842 rad

Výška trojuholníka na stranu a : v_a = 99,95112937038
Výška trojuholníka na stranu b : v_b = 169,91771992965
Výška trojuholníka na stranu c : v_c = 85

Ťažnica: t_a = 133,25498488785
Ťažnica: t_b = 178,6911136395
Ťažnica: t_c = 97,26111890064

Polomer vpísanej kružnice: r = 36,16600901655
Polomer opísanej kružnice: R = 100

Súradnice vrcholov: A[199,90325874076; 0] B[0; 0] C[147,22443186434; 85]
Ťažisko: T[115,70989686837; 28,33333333333]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[99,95112937038; -3,12107189772]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[134,95112937038; 36,16600901655]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 121,78883306171° = 121°47'18″ = 1,01659852938 rad
∠ B' = β' = 150° = 0,52435987756 rad
∠ C' = γ' = 88,21216693829° = 88°12'42″ = 1,60220085842 rad

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Výpočet trojuholníka prebieha v dvoch fázach. Prvá fáza je taká, že zo vstupných parametrov sa snažíme vypočítať všetky tri strany trojuholníka. Prvá fáza prebieha rôzne pre rôzne zadané trojuholníky. Druhá fáza je vlastne výpočet ostatných charakteristík trojuholníka (z už vypočítaných strán, preto SSS), ako sú uhly, plocha, obvod, výšky, ťažnice, polomery kružníc atď. Niektoré vstupné vstupné údaje vedú aj v dvom až trom správnym riešeniam trojuholníka (napr. ak je zadaný obsah trojuholníka a dve strany - výsledkom je typicky ostrouhlý a aj tupouhlý trojuholník).

1. Kosínusová veta

a = 170 b = 100 β = 30 ° b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β 10 0^{2} = 17 0^{2} + c^{2} - 2 \cdot 170 \cdot c \cdot cos 30 ° c^{2} - 294, 449 c + 18900 = 0 p = 1; q = - 294, 449; r = 18900 D = q^{2} - 4 p r = 294, 44 9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18900 = 11100 D > 0 c_{1, 2} = \frac{- q \pm D}{2 p} = \frac{2 9 4 , 4 5 \pm 1 1 1 0 0}{2} c_{1, 2} = 147, 224319 \pm 52, 678269 c_{1} = 199, 902587408 c_{2} = 94, 546049879 c > 0 c = 199, 9

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený. Ďalej preto výpočet je rovnaký a dopočítajú sa ďaľšie jeho vlastnosti - vlastne výpočet trojuholníka zo známych troch strán SSS.

a = 170 b = 100 c = 199, 9

2. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 170 + 100 + 199, 9 = 469, 9

3. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 6 9 , 9}{2} = 234, 95

4. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 234, 95 (234, 95 - 170) (234, 95 - 100) (234, 95 - 199, 9) S = 72179636, 54 = 8495, 86

5. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 8 4 9 5 , 8 6}{1 7 0} = 99, 95 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 8 4 9 5 , 8 6}{1 0 0} = 169, 92 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 8 4 9 5 , 8 6}{1 9 9 , 9} = 85

6. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 0 ^{2} + 1 9 9 , 9 ^{2} - 1 7 0 ^{2}}{2 \cdot 1 0 0 \cdot 1 9 9 , 9}) = 58 ° 1 2^{'} 42 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 7 0 ^{2} + 1 9 9 , 9 ^{2} - 1 0 0 ^{2}}{2 \cdot 1 7 0 \cdot 1 9 9 , 9}) = 30 ° γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 58 ° 1 2^{'} 42 " - 30 ° = 91 ° 4 7^{'} 18 "

7. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{8 4 9 5 , 8 6}{2 3 4 , 9 5} = 36, 16

8. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 7 0 \cdot 1 0 0 \cdot 1 9 9 , 9}{4 \cdot 3 6 , 1 6 \cdot 2 3 4 , 9 5 1} = 100

9. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 0 ^{2} + 2 \cdot 1 9 9 , 9 ^{2} - 1 7 0 ^{2}}{2} = 133, 25 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 9 , 9 ^{2} + 2 \cdot 1 7 0 ^{2} - 1 0 0 ^{2}}{2} = 178, 691 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 0 ^{2} + 2 \cdot 1 0 0 ^{2} - 1 9 9 , 9 ^{2}}{2} = 97, 261

#2 Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 170
b = 100
c = 94,54660498791

Obsah trojuholníka: S = 4018,20771198614
Obvod trojuholníka: o = 364,54660498791
Semiperimeter (poloobvod): s = 182,27330249395

Uhol ∠ A = α = 121,78883306171° = 121°47'18″ = 2,12656073598 rad
Uhol ∠ B = β = 30° = 0,52435987756 rad
Uhol ∠ C = γ = 28,21216693829° = 28°12'42″ = 0,49223865182 rad

Výška trojuholníka na stranu a : v_a = 47,27330249395
Výška trojuholníka na stranu b : v_b = 80,36441423972
Výška trojuholníka na stranu c : v_c = 85

Ťažnica: t_a = 47,37659197681
Ťažnica: t_b = 128,13985101126
Ťažnica: t_c = 131,20769400339

Polomer vpísanej kružnice: r = 22,04549905914
Polomer opísanej kružnice: R = 100

Súradnice vrcholov: A[94,54660498791; 0] B[0; 0] C[147,22443186434; 85]
Ťažisko: T[80,59901228408; 28,33333333333]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[47,27330249395; 88,12107189772]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[82,27330249395; 22,04549905914]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 58,21216693829° = 58°12'42″ = 2,12656073598 rad
∠ B' = β' = 150° = 0,52435987756 rad
∠ C' = γ' = 151,78883306171° = 151°47'18″ = 0,49223865182 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník