Trojuholník 18 20 30

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 18
b = 20
c = 30

Obsah trojuholníka: S = 174,53993938342
Obvod trojuholníka: o = 68
Semiperimeter (poloobvod): s = 34

Uhol ∠ A = α = 35,57771025511° = 35°34'38″ = 0,62109375778 rad
Uhol ∠ B = β = 40,274389294° = 40°16'26″ = 0,70329120344 rad
Uhol ∠ C = γ = 104,14990045089° = 104°8'56″ = 1,81877430414 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 19,39332659816
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 17,45439393834
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 11,63659595889

Ťažnica: t_a = 23,85437208838
Ťažnica: t_b = 22,6277416998
Ťažnica: t_c = 11,70546999107

Polomer vpísanej kružnice: r = 5,13435115834
Polomer opísanej kružnice: R = 15,46992871374

Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[13,73333333333; 11,63659595889]
Ťažisko: T[14,57877777778; 3,87986531963]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; -3,78113813002]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[14; 5,13435115834]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 144,42328974489° = 144°25'22″ = 0,62109375778 rad
∠ B' = β' = 139,726610706° = 139°43'34″ = 0,70329120344 rad
∠ C' = γ' = 75,85109954911° = 75°51'4″ = 1,81877430414 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 18 b = 20 c = 30

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 18 + 20 + 30 = 68

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 8}{2} = 34

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 34 (34 - 18) (34 - 20) (34 - 30) S = 30464 = 174, 54

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 7 4 , 5 4}{1 8} = 19, 39 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 7 4 , 5 4}{2 0} = 17, 45 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 7 4 , 5 4}{3 0} = 11, 64

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 3 0 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 3 0}) = 35 ° 3 4^{'} 38 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 8 ^{2} + 3 0 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 1 8 \cdot 3 0}) = 40 ° 1 6^{'} 26 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 35 ° 3 4^{'} 38 " - 40 ° 1 6^{'} 26 " = 104 ° 8^{'} 56 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 7 4 , 5 4}{3 4} = 5, 13

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 8 \cdot 2 0 \cdot 3 0}{4 \cdot 5 , 1 3 4 \cdot 3 4} = 15, 47

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 3 0 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 23, 854 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 0 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 22, 627 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2} = 11, 705

Vypočítať ďaľší trojuholník