Trojuholník 18 24 29

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 18
b = 24
c = 29

Obsah trojuholníka: S = 215,49657946225
Obvod trojuholníka: o = 71
Semiperimeter (poloobvod): s = 35,5

Uhol ∠ A = α = 38,26107140477° = 38°15'39″ = 0,66877754343 rad
Uhol ∠ B = β = 55,65548921569° = 55°39'18″ = 0,9711361113 rad
Uhol ∠ C = γ = 86,08443937954° = 86°5'4″ = 1,50224561063 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 23,94439771803
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 17,95879828852
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 14,86217789395

Ťažnica: t_a = 25,05499500998
Ťažnica: t_b = 20,94403915914
Ťažnica: t_c = 15,48438625672

Polomer vpísanej kružnice: r = 6,07703040739
Polomer opísanej kružnice: R = 14,53439263139

Súradnice vrcholov: A[29; 0] B[0; 0] C[10,15551724138; 14,86217789395]
Ťažisko: T[13,05217241379; 4,95439263132]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[14,5; 0,99224787645]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[11,5; 6,07703040739]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 141,73992859523° = 141°44'21″ = 0,66877754343 rad
∠ B' = β' = 124,34551078431° = 124°20'42″ = 0,9711361113 rad
∠ C' = γ' = 93,91656062046° = 93°54'56″ = 1,50224561063 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 18 b = 24 c = 29

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 18 + 24 + 29 = 71

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 1}{2} = 35, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 35, 5 (35, 5 - 18) (35, 5 - 24) (35, 5 - 29) S = 46438, 44 = 215, 5

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 1 5 , 5}{1 8} = 23, 94 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 1 5 , 5}{2 4} = 17, 96 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 1 5 , 5}{2 9} = 14, 86

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 4 ^{2} + 2 9 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2 \cdot 2 4 \cdot 2 9}) = 38 ° 1 5^{'} 39 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 8 ^{2} + 2 9 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2 \cdot 1 8 \cdot 2 9}) = 55 ° 3 9^{'} 18 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 38 ° 1 5^{'} 39 " - 55 ° 3 9^{'} 18 " = 86 ° 5^{'} 4 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 1 5 , 5}{3 5 , 5} = 6, 07

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 8 \cdot 2 4 \cdot 2 9}{4 \cdot 6 , 0 7 \cdot 3 5 , 5} = 14, 53

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 ^{2} + 2 \cdot 2 9 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 25, 05 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2} = 20, 94 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 2 4 ^{2} - 2 9 ^{2}}{2} = 15, 484

Vypočítať ďaľší trojuholník