Trojuholník 19 21 26

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 19
b = 21
c = 26

Obsah trojuholníka: S = 196,99774619126
Obvod trojuholníka: o = 66
Semiperimeter (poloobvod): s = 33

Uhol ∠ A = α = 46,18769385396° = 46°11'13″ = 0,80661141489 rad
Uhol ∠ B = β = 52,89877817478° = 52°53'52″ = 0,92332404585 rad
Uhol ∠ C = γ = 80,91552797126° = 80°54'55″ = 1,41222380462 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 20,73765749382
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 18,76216630393
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 15,15436509164

Ťažnica: t_a = 21,63990850084
Ťažnica: t_b = 20,20551973512
Ťažnica: t_c = 15,23215462117

Polomer vpísanej kružnice: r = 5,9769620058
Polomer opísanej kružnice: R = 13,1655144235

Súradnice vrcholov: A[26; 0] B[0; 0] C[11,46215384615; 15,15436509164]
Ťažisko: T[12,48771794872; 5,05112169721]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[13; 2,07987069845]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[12; 5,9769620058]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 133,81330614604° = 133°48'47″ = 0,80661141489 rad
∠ B' = β' = 127,10222182522° = 127°6'8″ = 0,92332404585 rad
∠ C' = γ' = 99,08547202874° = 99°5'5″ = 1,41222380462 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 19 b = 21 c = 26

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 19 + 21 + 26 = 66

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 6}{2} = 33

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 33 (33 - 19) (33 - 21) (33 - 26) S = 38808 = 197

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 9 7}{1 9} = 20, 74 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 9 7}{2 1} = 18, 76 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 9 7}{2 6} = 15, 15

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 1 ^{2} + 2 6 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2 \cdot 2 1 \cdot 2 6}) = 46 ° 1 1^{'} 13 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 9 ^{2} + 2 6 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2 \cdot 1 9 \cdot 2 6}) = 52 ° 5 3^{'} 52 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 46 ° 1 1^{'} 13 " - 52 ° 5 3^{'} 52 " = 80 ° 5 4^{'} 55 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 9 7}{3 3} = 5, 97

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 9 \cdot 2 1 \cdot 2 6}{4 \cdot 5 , 9 7 \cdot 3 3} = 13, 17

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 2 6 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2} = 21, 639 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 6 ^{2} + 2 \cdot 1 9 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 20, 205 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2} = 15, 232

Vypočítať ďaľší trojuholník