Trojuholník 19 21 29
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 19 b = 21 c = 29Obsah trojuholníka: S = 199,26216056846
Obvod trojuholníka: o = 69
Semiperimeter (poloobvod): s = 34,5
Uhol ∠ A = α = 40,87333755385° = 40°52'24″ = 0,71333749796 rad
Uhol ∠ B = β = 46,32553388901° = 46°19'31″ = 0,80985296907 rad
Uhol ∠ C = γ = 92,80112855715° = 92°48'5″ = 1,62196879833 rad
Výška trojuholníka: va = 20,97549058615
Výška trojuholníka: vb = 18,97772957795
Výška trojuholníka: vc = 13,74221797024
Ťažnica: ta = 23,46880634054
Ťažnica: tb = 22,15328779169
Ťažnica: tc = 13,81112273169
Polomer vpísanej kružnice: r = 5,77656987155
Polomer opísanej kružnice: R = 14,51773476348
Súradnice vrcholov: A[29; 0] B[0; 0] C[13,12106896552; 13,74221797024]
Ťažisko: T[14,04402298851; 4,58107265675]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[14,5; -0,70994944333]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[13,5; 5,77656987155]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 139,12766244615° = 139°7'36″ = 0,71333749796 rad
∠ B' = β' = 133,675466111° = 133°40'29″ = 0,80985296907 rad
∠ C' = γ' = 87,19987144285° = 87°11'55″ = 1,62196879833 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=19 b=21 c=29
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=19+21+29=69
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=269=34,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=34,5(34,5−19)(34,5−21)(34,5−29) S=39705,19=199,26
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=192⋅ 199,26=20,97 vb=b2 S=212⋅ 199,26=18,98 vc=c2 S=292⋅ 199,26=13,74
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 21⋅ 29212+292−192)=40°52′24" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 19⋅ 29192+292−212)=46°19′31" γ=180°−α−β=180°−40°52′24"−46°19′31"=92°48′5"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=34,5199,26=5,78
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 5,776⋅ 34,519⋅ 21⋅ 29=14,52
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 212+2⋅ 292−192=23,468 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 292+2⋅ 192−212=22,153 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 192+2⋅ 212−292=13,811
Vypočítať ďaľší trojuholník