Trojuholník 19 22 25

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 19
b = 22
c = 25

Obsah trojuholníka: S = 201,63333305781
Obvod trojuholníka: o = 66
Semiperimeter (poloobvod): s = 33

Uhol ∠ A = α = 47,15663569564° = 47°9'23″ = 0,82330336921 rad
Uhol ∠ B = β = 58,10111663341° = 58°6'4″ = 1,01440566518 rad
Uhol ∠ C = γ = 74,74224767095° = 74°44'33″ = 1,30545023097 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 21,22545611135
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 18,33303027798
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 16,13106664462

Ťažnica: t_a = 21,54664614264
Ťažnica: t_b = 19,2877301522
Ťažnica: t_c = 16,31771688721

Polomer vpísanej kružnice: r = 6,11101009266
Polomer opísanej kružnice: R = 12,95766872328

Súradnice vrcholov: A[25; 0] B[0; 0] C[10,04; 16,13106664462]
Ťažisko: T[11,68; 5,37768888154]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12,5; 3,41096545349]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[11; 6,11101009266]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 132,84436430436° = 132°50'37″ = 0,82330336921 rad
∠ B' = β' = 121,8998833666° = 121°53'56″ = 1,01440566518 rad
∠ C' = γ' = 105,25875232905° = 105°15'27″ = 1,30545023097 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 19 b = 22 c = 25

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 19 + 22 + 25 = 66

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 6}{2} = 33

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 33 (33 - 19) (33 - 22) (33 - 25) S = 40656 = 201, 63

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 0 1 , 6 3}{1 9} = 21, 22 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 0 1 , 6 3}{2 2} = 18, 33 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 0 1 , 6 3}{2 5} = 16, 13

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 2 ^{2} + 2 5 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2 \cdot 2 2 \cdot 2 5}) = 47 ° 9^{'} 23 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 9 ^{2} + 2 5 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2 \cdot 1 9 \cdot 2 5}) = 58 ° 6^{'} 4 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 47 ° 9^{'} 23 " - 58 ° 6^{'} 4 " = 74 ° 4 4^{'} 33 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 0 1 , 6 3}{3 3} = 6, 11

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 9 \cdot 2 2 \cdot 2 5}{4 \cdot 6 , 1 1 \cdot 3 3} = 12, 96

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2} = 21, 546 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 1 9 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 19, 287 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 16, 317

Vypočítať ďaľší trojuholník