Trojuholník 19 22 29

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 19
b = 22
c = 29

Obsah trojuholníka: S = 208,99876076418
Obvod trojuholníka: o = 70
Semiperimeter (poloobvod): s = 35

Uhol ∠ A = α = 40,93221558081° = 40°55'56″ = 0,71444008888 rad
Uhol ∠ B = β = 49,34219877236° = 49°20'31″ = 0,86111801453 rad
Uhol ∠ C = γ = 89,72658564683° = 89°43'33″ = 1,56660116195 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 221,9997481728
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 198,9997825129
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 14,41436281132

Ťažnica: t_a = 23,92217474278
Ťažnica: t_b = 21,90989023002
Ťažnica: t_c = 14,56988022843

Polomer vpísanej kružnice: r = 5,97113602183
Polomer opísanej kružnice: R = 14.55001659789

Súradnice vrcholov: A[29; 0] B[0; 0] C[12,37993103448; 14,41436281132]
Ťažisko: T[13,79331034483; 4,80545427044]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[14,5; 0,06993787846]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[13; 5,97113602183]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 139,06878441919° = 139°4'4″ = 0,71444008888 rad
∠ B' = β' = 130,65880122764° = 130°39'29″ = 0,86111801453 rad
∠ C' = γ' = 90,27441435317° = 90°16'27″ = 1,56660116195 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 19 b = 22 c = 29

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 19 + 22 + 29 = 70

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 0}{2} = 35

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 35 (35 - 19) (35 - 22) (35 - 29) S = 43680 = 209

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 0 9}{1 9} = 22 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 0 9}{2 2} = 19 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 0 9}{2 9} = 14, 41

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 2 ^{2} + 2 9 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2 \cdot 2 2 \cdot 2 9}) = 40 ° 5 5^{'} 56 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 9 ^{2} + 2 9 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2 \cdot 1 9 \cdot 2 9}) = 49 ° 2 0^{'} 31 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 40 ° 5 5^{'} 56 " - 49 ° 2 0^{'} 31 " = 89 ° 4 3^{'} 33 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 0 9}{3 5} = 5, 97

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 9 \cdot 2 2 \cdot 2 9}{4 \cdot 5 , 9 7 1 \cdot 3 5} = 14, 5

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 2 9 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2} = 23, 922 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 ^{2} + 2 \cdot 1 9 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 21, 909 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 2 9 ^{2}}{2} = 14, 569

Vypočítať ďaľší trojuholník