Trojuholník 20 20 22
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 20
b = 20
c = 22
Obsah trojuholníka: S = 183,73662239734
Obvod trojuholníka: o = 62
Semiperimeter (poloobvod): s = 31
Uhol ∠ A = α = 56,63329870308° = 56°37'59″ = 0,98884320889 rad
Uhol ∠ B = β = 56,63329870308° = 56°37'59″ = 0,98884320889 rad
Uhol ∠ C = γ = 66,73440259385° = 66°44'3″ = 1,16547284757 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 18,37436223973
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 18,37436223973
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 16,70332930885
Ťažnica: ta = 18,49332420089
Ťažnica: tb = 18,49332420089
Ťažnica: tc = 16,70332930885
Polomer vpísanej kružnice: r = 5,92769749669
Polomer opísanej kružnice: R = 11,97436868018
Súradnice vrcholov: A[22; 0] B[0; 0] C[11; 16,70332930885]
Ťažisko: T[11; 5,56877643628]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11; 4,73296062867]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[11; 5,92769749669]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 123,36770129692° = 123°22'1″ = 0,98884320889 rad
∠ B' = β' = 123,36770129692° = 123°22'1″ = 0,98884320889 rad
∠ C' = γ' = 113,26659740615° = 113°15'57″ = 1,16547284757 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=20 b=20 c=22
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=20+20+22=62
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=262=31
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=31(31−20)(31−20)(31−22) S=33759=183,74
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=202⋅ 183,74=18,37 vb=b2 S=202⋅ 183,74=18,37 vc=c2 S=222⋅ 183,74=16,7
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 20⋅ 22202+222−202)=56°37′59" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 20⋅ 22202+222−202)=56°37′59" γ=180°−α−β=180°−56°37′59"−56°37′59"=66°44′3"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=31183,74=5,93
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 5,927⋅ 3120⋅ 20⋅ 22=11,97
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 202+2⋅ 222−202=18,493 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 222+2⋅ 202−202=18,493 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 202+2⋅ 202−222=16,703
Vypočítať ďaľší trojuholník