Trojuholník 20 20 29
Tupouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 20 b = 20 c = 29Obsah trojuholníka: S = 199,73771710524
Obvod trojuholníka: o = 69
Semiperimeter (poloobvod): s = 34,5
Uhol ∠ A = α = 43,53111521674° = 43°31'52″ = 0,76597619325 rad
Uhol ∠ B = β = 43,53111521674° = 43°31'52″ = 0,76597619325 rad
Uhol ∠ C = γ = 92,93876956653° = 92°56'16″ = 1,62220687886 rad
Výška trojuholníka: va = 19,97437171052
Výška trojuholníka: vb = 19,97437171052
Výška trojuholníka: vc = 13,7754977314
Ťažnica: ta = 22,81444690931
Ťažnica: tb = 22,81444690931
Ťažnica: tc = 13,7754977314
Polomer vpísanej kružnice: r = 5,78994832189
Polomer opísanej kružnice: R = 14,51990801728
Súradnice vrcholov: A[29; 0] B[0; 0] C[14,5; 13,7754977314]
Ťažisko: T[14,5; 4,59216591047]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[14,5; -0,74441028589]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[14,5; 5,78994832189]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 136,46988478326° = 136°28'8″ = 0,76597619325 rad
∠ B' = β' = 136,46988478326° = 136°28'8″ = 0,76597619325 rad
∠ C' = γ' = 87,06223043347° = 87°3'44″ = 1,62220687886 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=20 b=20 c=29
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=20+20+29=69
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=269=34,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=34,5(34,5−20)(34,5−20)(34,5−29) S=39894,94=199,74
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=202⋅ 199,74=19,97 vb=b2 S=202⋅ 199,74=19,97 vc=c2 S=292⋅ 199,74=13,77
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 20⋅ 29202+292−202)=43°31′52" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 20⋅ 29202+292−202)=43°31′52" γ=180°−α−β=180°−43°31′52"−43°31′52"=92°56′16"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=34,5199,74=5,79
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 5,789⋅ 34,520⋅ 20⋅ 29=14,52
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 202+2⋅ 292−202=22,814 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 292+2⋅ 202−202=22,814 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 202+2⋅ 202−292=13,775
Vypočítať ďaľší trojuholník