Trojuholník 20 22 29

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 20
b = 22
c = 29

Obsah trojuholníka: S = 219,73772009925
Obvod trojuholníka: o = 71
Semiperimeter (poloobvod): s = 35,5

Uhol ∠ A = α = 43,53876712285° = 43°32'16″ = 0,76598757116 rad
Uhol ∠ B = β = 49,26331242172° = 49°15'47″ = 0,86598037174 rad
Uhol ∠ C = γ = 87,19992045543° = 87°11'57″ = 1,52219132246 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 21,97437200992
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 19,97661091811
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 15,15442897236

Ťažnica: t_a = 23,71770824513
Ťažnica: t_b = 22,34994966386
Ťažnica: t_c = 15,22333373476

Polomer vpísanej kružnice: r = 6,19897803096
Polomer opísanej kružnice: R = 14,51773415589

Súradnice vrcholov: A[29; 0] B[0; 0] C[13,05217241379; 15,15442897236]
Ťažisko: T[14,01772413793; 5,05114299079]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[14,5; 0,70993700989]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[13,5; 6,19897803096]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 136,46223287715° = 136°27'44″ = 0,76598757116 rad
∠ B' = β' = 130,73768757828° = 130°44'13″ = 0,86598037174 rad
∠ C' = γ' = 92,80107954457° = 92°48'3″ = 1,52219132246 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 20 b = 22 c = 29

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 20 + 22 + 29 = 71

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 1}{2} = 35, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 35, 5 (35, 5 - 20) (35, 5 - 22) (35, 5 - 29) S = 48284, 44 = 219, 74

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 1 9 , 7 4}{2 0} = 21, 97 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 1 9 , 7 4}{2 2} = 19, 98 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 1 9 , 7 4}{2 9} = 15, 15

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 2 ^{2} + 2 9 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 2 2 \cdot 2 9}) = 43 ° 3 2^{'} 16 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 9 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 9}) = 49 ° 1 5^{'} 47 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 43 ° 3 2^{'} 16 " - 49 ° 1 5^{'} 47 " = 87 ° 1 1^{'} 57 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 1 9 , 7 4}{3 5 , 5} = 6, 19

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 0 \cdot 2 2 \cdot 2 9}{4 \cdot 6 , 1 9 \cdot 3 5 , 5} = 14, 52

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 2 9 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 23, 717 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 22, 349 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 2 9 ^{2}}{2} = 15, 223

Vypočítať ďaľší trojuholník