Trojuholník 20 24 30

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 20
b = 24
c = 30

Obsah trojuholníka: S = 239,2476734565
Obvod trojuholníka: o = 74
Semiperimeter (poloobvod): s = 37

Uhol ∠ A = α = 41,65496722739° = 41°38'59″ = 0,72769239136 rad
Uhol ∠ B = β = 52,89109950542° = 52°53'28″ = 0,92331220084 rad
Uhol ∠ C = γ = 85,45993326719° = 85°27'34″ = 1,49215467317 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 23,92546734565
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 19,93772278804
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 15,95497823043

Ťažnica: t_a = 25,25986618806
Ťažnica: t_b = 22,49444437584
Ťažnica: t_c = 16,21772747402

Polomer vpísanej kružnice: r = 6,46661279612
Polomer opísanej kružnice: R = 15,04772273176

Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[12,06766666667; 15,95497823043]
Ťažisko: T[14,02222222222; 5,31765941014]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; 1,19112388293]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[13; 6,46661279612]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 138,35503277261° = 138°21'1″ = 0,72769239136 rad
∠ B' = β' = 127,10990049458° = 127°6'32″ = 0,92331220084 rad
∠ C' = γ' = 94,54106673281° = 94°32'26″ = 1,49215467317 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 20 b = 24 c = 30

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 20 + 24 + 30 = 74

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 4}{2} = 37

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 37 (37 - 20) (37 - 24) (37 - 30) S = 57239 = 239, 25

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 3 9 , 2 5}{2 0} = 23, 92 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 3 9 , 2 5}{2 4} = 19, 94 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 3 9 , 2 5}{3 0} = 15, 95

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 4 ^{2} + 3 0 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 2 4 \cdot 3 0}) = 41 ° 3 8^{'} 59 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 3 0 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 3 0}) = 52 ° 5 3^{'} 28 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 41 ° 3 8^{'} 59 " - 52 ° 5 3^{'} 28 " = 85 ° 2 7^{'} 34 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 3 9 , 2 5}{3 7} = 6, 47

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 0 \cdot 2 4 \cdot 3 0}{4 \cdot 6 , 4 6 6 \cdot 3 7} = 15, 05

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 ^{2} + 2 \cdot 3 0 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 25, 259 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 0 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2} = 22, 494 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 4 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2} = 16, 217

Vypočítať ďaľší trojuholník