Trojuholník 20 28 29

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 20
b = 28
c = 29

Obsah trojuholníka: S = 266,54663139869
Obvod trojuholníka: o = 77
Semiperimeter (poloobvod): s = 38,5

Uhol ∠ A = α = 41,03548543388° = 41°2'5″ = 0,71661933163 rad
Uhol ∠ B = β = 66,7998528371° = 66°47'55″ = 1,16658542556 rad
Uhol ∠ C = γ = 72,16766172902° = 72°10' = 1,26595450817 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 26,65546313987
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 19,03990224276
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 18,38325044129

Ťažnica: t_a = 26,69326956301
Ťažnica: t_b = 20,6033397778
Ťažnica: t_c = 19,53884236826

Polomer vpísanej kružnice: r = 6,92332808828
Polomer opísanej kružnice: R = 15,23218744884

Súradnice vrcholov: A[29; 0] B[0; 0] C[7,87993103448; 18,38325044129]
Ťažisko: T[12,29331034483; 6,1287501471]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[14,5; 4,66547615621]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[10,5; 6,92332808828]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 138,96551456612° = 138°57'55″ = 0,71661933163 rad
∠ B' = β' = 113,2011471629° = 113°12'5″ = 1,16658542556 rad
∠ C' = γ' = 107,83333827098° = 107°50' = 1,26595450817 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 20 b = 28 c = 29

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 20 + 28 + 29 = 77

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 7}{2} = 38, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 38, 5 (38, 5 - 20) (38, 5 - 28) (38, 5 - 29) S = 71046, 94 = 266, 55

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 6 6 , 5 5}{2 0} = 26, 65 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 6 6 , 5 5}{2 8} = 19, 04 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 6 6 , 5 5}{2 9} = 18, 38

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 8 ^{2} + 2 9 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 2 8 \cdot 2 9}) = 41 ° 2^{'} 5 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 9 ^{2} - 2 8 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 9}) = 66 ° 4 7^{'} 55 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 41 ° 2^{'} 5 " - 66 ° 4 7^{'} 55 " = 72 ° 1 0^{'}

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 6 6 , 5 5}{3 8 , 5} = 6, 92

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 0 \cdot 2 8 \cdot 2 9}{4 \cdot 6 , 9 2 3 \cdot 3 8 , 5} = 15, 23

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 8 ^{2} + 2 \cdot 2 9 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 26, 693 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 8 ^{2}}{2} = 20, 603 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 8 ^{2} - 2 9 ^{2}}{2} = 19, 538

Vypočítať ďaľší trojuholník