Trojuholník 21 23 25

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 21
b = 23
c = 25

Obsah trojuholníka: S = 225,57330203282
Obvod trojuholníka: o = 69
Semiperimeter (poloobvod): s = 34,5

Uhol ∠ A = α = 51,68438655263° = 51°41'2″ = 0,90220536236 rad
Uhol ∠ B = β = 59,24109669013° = 59°14'27″ = 1,03439499245 rad
Uhol ∠ C = γ = 69,07551675724° = 69°4'31″ = 1,20655891055 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 21,48331447932
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 19,61550452459
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 18,04658416263

Ťažnica: t_a = 21,60443977005
Ťažnica: t_b = 20,01987412192
Ťažnica: t_c = 18,13114643645

Polomer vpísanej kružnice: r = 6,53883484153
Polomer opísanej kružnice: R = 13,38325844758

Súradnice vrcholov: A[25; 0] B[0; 0] C[10,74; 18,04658416263]
Ťažisko: T[11,91333333333; 6,01552805421]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12,5; 4,77994944556]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[11,5; 6,53883484153]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 128,31661344737° = 128°18'58″ = 0,90220536236 rad
∠ B' = β' = 120,75990330987° = 120°45'33″ = 1,03439499245 rad
∠ C' = γ' = 110,92548324276° = 110°55'29″ = 1,20655891055 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 21 b = 23 c = 25

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 21 + 23 + 25 = 69

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 9}{2} = 34, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 34, 5 (34, 5 - 21) (34, 5 - 23) (34, 5 - 25) S = 50883, 19 = 225, 57

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 2 5 , 5 7}{2 1} = 21, 48 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 2 5 , 5 7}{2 3} = 19, 62 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 2 5 , 5 7}{2 5} = 18, 05

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 3 ^{2} + 2 5 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2 \cdot 2 3 \cdot 2 5}) = 51 ° 4 1^{'} 2 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 1 ^{2} + 2 5 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2 \cdot 2 1 \cdot 2 5}) = 59 ° 1 4^{'} 27 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 51 ° 4 1^{'} 2 " - 59 ° 1 4^{'} 27 " = 69 ° 4^{'} 31 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 2 5 , 5 7}{3 4 , 5} = 6, 54

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 1 \cdot 2 3 \cdot 2 5}{4 \cdot 6 , 5 3 8 \cdot 3 4 , 5} = 13, 38

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 21, 604 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 20, 019 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 18, 131

Vypočítať ďaľší trojuholník