Trojuholník 21 28 29

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 21 b = 28 c = 29

Obsah trojuholníka: S = 277,88548682458
Obvod trojuholníka: o = 78
Semiperimeter (poloobvod): s = 39

Uhol ∠ A = α = 43,19220135372° = 43°11'31″ = 0,75438428468 rad
Uhol ∠ B = β = 65,86663189457° = 65°51'59″ = 1,15495841318 rad
Uhol ∠ C = γ = 70,94216675171° = 70°56'30″ = 1,2388165675 rad

Výška trojuholníka: v_a = 26,46552255472
Výška trojuholníka: v_b = 19,84989191604
Výška trojuholníka: v_c = 19,16444736721

Ťažnica: t_a = 26,5
Ťažnica: t_b = 21,09550231097
Ťažnica: t_c = 20,05661711201

Polomer vpísanej kružnice: r = 7,12552530319
Polomer opísanej kružnice: R = 15,34108856945

Súradnice vrcholov: A[29; 0] B[0; 0] C[8,58662068966; 19,16444736721]
Ťažisko: T[12,52987356322; 6,38881578907]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[14,5; 5,00992687982]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[11; 7,12552530319]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 136,80879864628° = 136°48'29″ = 0,75438428468 rad
∠ B' = β' = 114,13436810544° = 114°8'1″ = 1,15495841318 rad
∠ C' = γ' = 109,05883324829° = 109°3'30″ = 1,2388165675 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 21 b = 28 c = 29

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 21 + 28 + 29 = 78

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 8}{2} = 39

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 39 (39 - 21) (39 - 28) (39 - 29) S = 77220 = 277, 88

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 7 7 , 8 8}{2 1} = 26, 47 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 7 7 , 8 8}{2 8} = 19, 85 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 7 7 , 8 8}{2 9} = 19, 16

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 8 ^{2} + 2 9 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2 \cdot 2 8 \cdot 2 9}) = 43 ° 1 1^{'} 31 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 1 ^{2} + 2 9 ^{2} - 2 8 ^{2}}{2 \cdot 2 1 \cdot 2 9}) = 65 ° 5 1^{'} 59 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 43 ° 1 1^{'} 31 " - 65 ° 5 1^{'} 59 " = 70 ° 5 6^{'} 30 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 7 7 , 8 8}{3 9} = 7, 13

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 1 \cdot 2 8 \cdot 2 9}{4 \cdot 7 , 1 2 5 \cdot 3 9} = 15, 34

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 8 ^{2} + 2 \cdot 2 9 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 26, 5 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 2 8 ^{2}}{2} = 21, 095 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 2 8 ^{2} - 2 9 ^{2}}{2} = 20, 056

Vypočítať ďaľší trojuholník