Trojuholník 22 24 25

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 22
b = 24
c = 25

Obsah trojuholníka: S = 240,56106732199
Obvod trojuholníka: o = 71
Semiperimeter (poloobvod): s = 35,5

Uhol ∠ A = α = 53,3098942622° = 53°18'32″ = 0,93304165695 rad
Uhol ∠ B = β = 61,01773038786° = 61°1'2″ = 1,06549528534 rad
Uhol ∠ C = γ = 65,67437534995° = 65°40'25″ = 1,14662232307 rad

Výška trojuholníka na stranu a : v_a = 21,86991521109
Výška trojuholníka na stranu b : v_b = 20,04767227683
Výška trojuholníka na stranu c : v_c = 19,24548538576

Ťažnica: t_a = 21,89774884405
Ťažnica: t_b = 20,26107995894
Ťažnica: t_c = 19,33326149292

Polomer vpísanej kružnice: r = 6,77663569921
Polomer opísanej kružnice: R = 13,71879529631

Súradnice vrcholov: A[25; 0] B[0; 0] C[10,66; 19,24548538576]
Ťažisko: T[11,88766666667; 6,41549512859]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12,5; 5,65108613058]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[11,5; 6,77663569921]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 126,69110573781° = 126°41'28″ = 0,93304165695 rad
∠ B' = β' = 118,98326961215° = 118°58'58″ = 1,06549528534 rad
∠ C' = γ' = 114,32662465005° = 114°19'34″ = 1,14662232307 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 22 b = 24 c = 25

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 22 + 24 + 25 = 71

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 1}{2} = 35, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 35, 5 (35, 5 - 22) (35, 5 - 24) (35, 5 - 25) S = 57869, 44 = 240, 56

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 4 0 , 5 6}{2 2} = 21, 87 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 4 0 , 5 6}{2 4} = 20, 05 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 4 0 , 5 6}{2 5} = 19, 24

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 4 ^{2} + 2 5 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2 \cdot 2 4 \cdot 2 5}) = 53 ° 1 8^{'} 32 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 2 ^{2} + 2 5 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2 \cdot 2 2 \cdot 2 5}) = 61 ° 1^{'} 2 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 53 ° 1 8^{'} 32 " - 61 ° 1^{'} 2 " = 65 ° 4 0^{'} 25 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 4 0 , 5 6}{3 5 , 5} = 6, 78

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 2 \cdot 2 4 \cdot 2 5}{4 \cdot 6 , 7 7 6 \cdot 3 5 , 5} = 13, 72

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 21, 897 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2} = 20, 261 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 2 4 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 19, 333

Vypočítať ďaľší trojuholník