Trojuholník 23 23 24

Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 23
b = 23
c = 24

Obsah trojuholníka: S = 235,45770024442
Obvod trojuholníka: o = 70
Semiperimeter (poloobvod): s = 35

Uhol ∠ A = α = 58,55110186106° = 58°33'4″ = 1,02219080552 rad
Uhol ∠ B = β = 58,55110186106° = 58°33'4″ = 1,02219080552 rad
Uhol ∠ C = γ = 62,89879627788° = 62°53'53″ = 1,09877765433 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 20,47545219517
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 20,47545219517
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 19,62114168703

Ťažnica: t_a = 20,5
Ťažnica: t_b = 20,5
Ťažnica: t_c = 19,62114168703

Polomer vpísanej kružnice: r = 6,7277342927
Polomer opísanej kružnice: R = 13,48801682135

Súradnice vrcholov: A[24; 0] B[0; 0] C[12; 19,62114168703]
Ťažisko: T[12; 6,54404722901]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12; 6,14112486568]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[12; 6,7277342927]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 121,44989813894° = 121°26'56″ = 1,02219080552 rad
∠ B' = β' = 121,44989813894° = 121°26'56″ = 1,02219080552 rad
∠ C' = γ' = 117,10220372212° = 117°6'7″ = 1,09877765433 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 23 b = 23 c = 24

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 23 + 23 + 24 = 70

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 0}{2} = 35

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 35 (35 - 23) (35 - 23) (35 - 24) S = 55440 = 235, 46

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 3 5 , 4 6}{2 3} = 20, 47 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 3 5 , 4 6}{2 3} = 20, 47 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 3 5 , 4 6}{2 4} = 19, 62

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 3 ^{2} + 2 4 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2 \cdot 2 3 \cdot 2 4}) = 58 ° 3 3^{'} 4 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 3 ^{2} + 2 4 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2 \cdot 2 3 \cdot 2 4}) = 58 ° 3 3^{'} 4 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 58 ° 3 3^{'} 4 " - 58 ° 3 3^{'} 4 " = 62 ° 5 3^{'} 53 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 3 5 , 4 6}{3 5} = 6, 73

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 3 \cdot 2 3 \cdot 2 4}{4 \cdot 6 , 7 2 7 \cdot 3 5} = 13, 48

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 2 4 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 20, 5 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 20, 5 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2} = 19, 621

Vypočítať ďaľší trojuholník