Trojuholník 271 356 163.73

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 271
b = 356
c = 163,73

Obsah trojuholníka: S = 21174,1222246688
Obvod trojuholníka: o = 790,73
Semiperimeter (poloobvod): s = 395,365

Uhol ∠ A = α = 46,59767772225° = 46°35'48″ = 0,81332671834 rad
Uhol ∠ B = β = 107,36662476586° = 107°21'58″ = 1,87438945272 rad
Uhol ∠ C = γ = 26,03769751189° = 26°2'13″ = 0,45444309431 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 156,26765848464
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 118,95657429589
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 258,64768239991

Ťažnica: t_a = 241,68547253138
Ťažnica: t_b = 135,79549058323
Ťažnica: t_c = 305,59222475702

Polomer vpísanej kružnice: r = 53,55658844275
Polomer opísanej kružnice: R = 186,50114201766

Súradnice vrcholov: A[163,73; 0] B[0; 0] C[-80,88877026202; 258,64768239991]
Ťažisko: T[27,61440991266; 86,21656079997]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[81,865; 167,57435704187]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[39,365; 53,55658844275]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 133,40332227775° = 133°24'12″ = 0,81332671834 rad
∠ B' = β' = 72,63437523414° = 72°38'2″ = 1,87438945272 rad
∠ C' = γ' = 153,96330248811° = 153°57'47″ = 0,45444309431 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 271 b = 356 c = 163, 73

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 271 + 356 + 163, 73 = 790, 73

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 9 0 , 7 3}{2} = 395, 37

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 395, 37 (395, 37 - 271) (395, 37 - 356) (395, 37 - 163, 73) S = 448343452, 92 = 21174, 12

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 1 1 7 4 , 1 2}{2 7 1} = 156, 27 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 1 1 7 4 , 1 2}{3 5 6} = 118, 96 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 1 1 7 4 , 1 2}{1 6 3 , 7 3} = 258, 65

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{3 5 6 ^{2} + 1 6 3 , 7 3 ^{2} - 2 7 1 ^{2}}{2 \cdot 3 5 6 \cdot 1 6 3 , 7 3}) = 46 ° 3 5^{'} 48 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 7 1 ^{2} + 1 6 3 , 7 3 ^{2} - 3 5 6 ^{2}}{2 \cdot 2 7 1 \cdot 1 6 3 , 7 3}) = 107 ° 2 1^{'} 58 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 46 ° 3 5^{'} 48 " - 107 ° 2 1^{'} 58 " = 26 ° 2^{'} 13 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 1 1 7 4 , 1 2}{3 9 5 , 3 7} = 53, 56

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 7 1 \cdot 3 5 6 \cdot 1 6 3 , 7 3}{4 \cdot 5 3 , 5 5 6 \cdot 3 9 5 , 3 6 5} = 186, 5

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 5 6 ^{2} + 2 \cdot 1 6 3 , 7 3 ^{2} - 2 7 1 ^{2}}{2} = 241, 685 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 3 , 7 3 ^{2} + 2 \cdot 2 7 1 ^{2} - 3 5 6 ^{2}}{2} = 135, 795 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 7 1 ^{2} + 2 \cdot 3 5 6 ^{2} - 1 6 3 , 7 3 ^{2}}{2} = 305, 592

Vypočítať ďaľší trojuholník