Trojuholník 3 20 21

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 3
b = 20
c = 21

Obsah trojuholníka: S = 28,91436645896
Obvod trojuholníka: o = 44
Semiperimeter (poloobvod): s = 22

Uhol ∠ A = α = 7,91438581623° = 7°54'50″ = 0,13881228815 rad
Uhol ∠ B = β = 66,62201318843° = 66°37'12″ = 1,16327406495 rad
Uhol ∠ C = γ = 105,46660099534° = 105°27'58″ = 1,84107291226 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 19,27657763931
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 2,8911366459
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 2,75436823419

Ťažnica: t_a = 20,45111613362
Ťažnica: t_b = 11,18803398875
Ťažnica: t_c = 9,70882439195

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,31442574813
Polomer opísanej kružnice: R = 10,89545028059

Súradnice vrcholov: A[21; 0] B[0; 0] C[1,19904761905; 2,75436823419]
Ťažisko: T[7,39768253968; 0,9187894114]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10,5; -2,90552007482]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2; 1,31442574813]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 172,08661418377° = 172°5'10″ = 0,13881228815 rad
∠ B' = β' = 113,38798681157° = 113°22'48″ = 1,16327406495 rad
∠ C' = γ' = 74,53439900466° = 74°32'2″ = 1,84107291226 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 3 b = 20 c = 21

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 3 + 20 + 21 = 44

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 4}{2} = 22

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 22 (22 - 3) (22 - 20) (22 - 21) S = 836 = 28, 91

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 8 , 9 1}{3} = 19, 28 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 8 , 9 1}{2 0} = 2, 89 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 8 , 9 1}{2 1} = 2, 75

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 1 ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 1}) = 7 ° 5 4^{'} 50 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 ^{2} + 2 1 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 2 1}) = 66 ° 3 7^{'} 12 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 7 ° 5 4^{'} 50 " - 66 ° 3 7^{'} 12 " = 105 ° 2 7^{'} 58 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 8 , 9 1}{2 2} = 1, 31

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 \cdot 2 0 \cdot 2 1}{4 \cdot 1 , 3 1 4 \cdot 2 2} = 10, 89

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 3 ^{2}}{2} = 20, 451 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 3 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 11, 18 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 9, 708

Vypočítať ďaľší trojuholník