Trojuholník 3 20 22

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 3
b = 20
c = 22

Obsah trojuholníka: S = 23,4198742494
Obvod trojuholníka: o = 45
Semiperimeter (poloobvod): s = 22,5

Uhol ∠ A = α = 6,11106462489° = 6°6'38″ = 0,10766508965 rad
Uhol ∠ B = β = 45,20771662976° = 45°12'26″ = 0,78990138974 rad
Uhol ∠ C = γ = 128,68221874535° = 128°40'56″ = 2,24659278597 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 15,6122494996
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 2,34218742494
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 2,12989765904

Ťažnica: t_a = 20,97702169755
Ťažnica: t_b = 12,10437184369
Ťažnica: t_c = 9,13878334412

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,04108329997
Polomer opísanej kružnice: R = 14,09112775348

Súradnice vrcholov: A[22; 0] B[0; 0] C[2,11436363636; 2,12989765904]
Ťažisko: T[8,03878787879; 0,71096588635]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11; -8,80770484593]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2,5; 1,04108329997]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 173,88993537511° = 173°53'22″ = 0,10766508965 rad
∠ B' = β' = 134,79328337024° = 134°47'34″ = 0,78990138974 rad
∠ C' = γ' = 51,31878125465° = 51°19'4″ = 2,24659278597 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 3 b = 20 c = 22

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 3 + 20 + 22 = 45

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 5}{2} = 22, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 22, 5 (22, 5 - 3) (22, 5 - 20) (22, 5 - 22) S = 548, 44 = 23, 42

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 3 , 4 2}{3} = 15, 61 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 3 , 4 2}{2 0} = 2, 34 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 3 , 4 2}{2 2} = 2, 13

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 2 ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 2}) = 6 ° 6^{'} 38 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 ^{2} + 2 2 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 2 2}) = 45 ° 1 2^{'} 26 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 6 ° 6^{'} 38 " - 45 ° 1 2^{'} 26 " = 128 ° 4 0^{'} 56 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 3 , 4 2}{2 2 , 5} = 1, 04

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 \cdot 2 0 \cdot 2 2}{4 \cdot 1 , 0 4 1 \cdot 2 2 , 5} = 14, 09

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 3 ^{2}}{2} = 20, 97 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 3 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 12, 104 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 9, 138

Vypočítať ďaľší trojuholník