Trojuholník 5 11 15

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 5 b = 11 c = 15

Obsah trojuholníka: S = 19,13660262333
Obvod trojuholníka: o = 31
Semiperimeter (poloobvod): s = 15,5

Uhol ∠ A = α = 13,41220116047° = 13°24'43″ = 0,23440837618 rad
Uhol ∠ B = β = 30,6833417109° = 30°41' = 0,53655266543 rad
Uhol ∠ C = γ = 135,90545712863° = 135°54'16″ = 2,37219822375 rad

Výška trojuholníka: v_a = 7,65444104933
Výška trojuholníka: v_b = 3,4799277497
Výška trojuholníka: v_c = 2,55114701644

Ťažnica: t_a = 12,91331715701
Ťažnica: t_b = 9,7343961167
Ťažnica: t_c = 4,09326763859

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,23545823376
Polomer opísanej kružnice: R = 10,7788099773

Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[4,3; 2,55114701644]
Ťažisko: T[6,43333333333; 0,85504900548]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; -7,74106352915]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,5; 1,23545823376]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 166,58879883953° = 166°35'17″ = 0,23440837618 rad
∠ B' = β' = 149,3176582891° = 149°19' = 0,53655266543 rad
∠ C' = γ' = 44,09554287137° = 44°5'44″ = 2,37219822375 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 5 b = 11 c = 15

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 5 + 11 + 15 = 31

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 1}{2} = 15, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 15, 5 (15, 5 - 5) (15, 5 - 11) (15, 5 - 15) S = 366, 19 = 19, 14

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 9 , 1 4}{5} = 7, 65 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 9 , 1 4}{1 1} = 3, 48 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 9 , 1 4}{1 5} = 2, 55

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 1 5 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 1 5}) = 13 ° 2 4^{'} 43 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 1 5 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 1 5}) = 30 ° 4 1^{'} γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 13 ° 2 4^{'} 43 " - 30 ° 4 1^{'} = 135 ° 5 4^{'} 16 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 9 , 1 4}{1 5 , 5} = 1, 23

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 \cdot 1 1 \cdot 1 5}{4 \cdot 1 , 2 3 5 \cdot 1 5 , 5} = 10, 78

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 12, 913 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 9, 734 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 4, 093

Vypočítať ďaľší trojuholník