Trojuholník 5 12 15

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 5 b = 12 c = 15

Obsah trojuholníka: S = 26,53329983228
Obvod trojuholníka: o = 32
Semiperimeter (poloobvod): s = 16

Uhol ∠ A = α = 17,14662099989° = 17°8'46″ = 0,29992578187 rad
Uhol ∠ B = β = 45,03656507165° = 45°2'8″ = 0,78660203858 rad
Uhol ∠ C = γ = 117,81881392847° = 117°49'5″ = 2,05663144491 rad

Výška trojuholníka: v_a = 10,61331993291
Výška trojuholníka: v_b = 4,42221663871
Výška trojuholníka: v_c = 3,53877331097

Ťažnica: t_a = 13,35110299228
Ťažnica: t_b = 9,43439811321
Ťažnica: t_c = 5,31550729064

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,65883123952
Polomer opísanej kružnice: R = 8,48800065662

Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[3,53333333333; 3,53877331097]
Ťažisko: T[6,17877777778; 1,17992443699]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; -3,95773363976]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4; 1,65883123952]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 162,85437900011° = 162°51'14″ = 0,29992578187 rad
∠ B' = β' = 134,96443492836° = 134°57'52″ = 0,78660203858 rad
∠ C' = γ' = 62,18218607153° = 62°10'55″ = 2,05663144491 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 5 b = 12 c = 15

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 5 + 12 + 15 = 32

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 2}{2} = 16

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 16 (16 - 5) (16 - 12) (16 - 15) S = 704 = 26, 53

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 6 , 5 3}{5} = 10, 61 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 6 , 5 3}{1 2} = 4, 42 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 6 , 5 3}{1 5} = 3, 54

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 1 5 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 1 5}) = 17 ° 8^{'} 46 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 1 5 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 1 5}) = 45 ° 2^{'} 8 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 17 ° 8^{'} 46 " - 45 ° 2^{'} 8 " = 117 ° 4 9^{'} 5 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 6 , 5 3}{1 6} = 1, 66

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 \cdot 1 2 \cdot 1 5}{4 \cdot 1 , 6 5 8 \cdot 1 6} = 8, 48

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 13, 351 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 9, 434 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 5, 315

Vypočítať ďaľší trojuholník