Trojuholník 5 12 16

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 5
b = 12
c = 16

Obsah trojuholníka: S = 20,66224659709
Obvod trojuholníka: o = 33
Semiperimeter (poloobvod): s = 16,5

Uhol ∠ A = α = 12,42992571325° = 12°25'45″ = 0,21769314605 rad
Uhol ∠ B = β = 31,10218950349° = 31°6'7″ = 0,5432830472 rad
Uhol ∠ C = γ = 136,46988478326° = 136°28'8″ = 2,38218307211 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 8,26549863884
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 3,44437443285
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 2,58328082464

Ťažnica: t_a = 13,91994109071
Ťažnica: t_b = 10,22325241501
Ťažnica: t_c = 4,52876925691

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,25222706649
Polomer opísanej kružnice: R = 11,61552641383

Súradnice vrcholov: A[16; 0] B[0; 0] C[4,281125; 2,58328082464]
Ťažisko: T[6,76604166667; 0,86109360821]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8; -8,42110665002]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,5; 1,25222706649]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 167,57107428675° = 167°34'15″ = 0,21769314605 rad
∠ B' = β' = 148,89881049652° = 148°53'53″ = 0,5432830472 rad
∠ C' = γ' = 43,53111521674° = 43°31'52″ = 2,38218307211 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 5 b = 12 c = 16

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 5 + 12 + 16 = 33

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 3}{2} = 16, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 16, 5 (16, 5 - 5) (16, 5 - 12) (16, 5 - 16) S = 426, 94 = 20, 66

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 0 , 6 6}{5} = 8, 26 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 0 , 6 6}{1 2} = 3, 44 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 0 , 6 6}{1 6} = 2, 58

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 1 6 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 1 6}) = 12 ° 2 5^{'} 45 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 1 6 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 1 6}) = 31 ° 6^{'} 7 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 12 ° 2 5^{'} 45 " - 31 ° 6^{'} 7 " = 136 ° 2 8^{'} 8 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 0 , 6 6}{1 6 , 5} = 1, 25

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 \cdot 1 2 \cdot 1 6}{4 \cdot 1 , 2 5 2 \cdot 1 6 , 5} = 11, 62

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 13, 919 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 10, 223 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 4, 528

Vypočítať ďaľší trojuholník