Trojuholník 5 14 16
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 5 b = 14 c = 16Obsah trojuholníka: S = 33,88986042793
Obvod trojuholníka: o = 35
Semiperimeter (poloobvod): s = 17,5
Uhol ∠ A = α = 17,61224390704° = 17°36'45″ = 0,30773950511 rad
Uhol ∠ B = β = 57,91100487437° = 57°54'36″ = 1,01107210206 rad
Uhol ∠ C = γ = 104,47875121859° = 104°28'39″ = 1,82334765819 rad
Výška trojuholníka: va = 13,55554417117
Výška trojuholníka: vb = 4,84112291828
Výška trojuholníka: vc = 4,23660755349
Ťažnica: ta = 14,82439670804
Ťažnica: tb = 9,56655632349
Ťažnica: tc = 6,81990908485
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,93664916731
Polomer opísanej kružnice: R = 8,26223644719
Súradnice vrcholov: A[16; 0] B[0; 0] C[2,656625; 4,23660755349]
Ťažisko: T[6,219875; 1,41220251783]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8; -2,0665591118]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,5; 1,93664916731]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 162,38875609297° = 162°23'15″ = 0,30773950511 rad
∠ B' = β' = 122,09899512563° = 122°5'24″ = 1,01107210206 rad
∠ C' = γ' = 75,52224878141° = 75°31'21″ = 1,82334765819 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=5 b=14 c=16
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=5+14+16=35
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=235=17,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=17,5(17,5−5)(17,5−14)(17,5−16) S=1148,44=33,89
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=52⋅ 33,89=13,56 vb=b2 S=142⋅ 33,89=4,84 vc=c2 S=162⋅ 33,89=4,24
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 14⋅ 16142+162−52)=17°36′45" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5⋅ 1652+162−142)=57°54′36" γ=180°−α−β=180°−17°36′45"−57°54′36"=104°28′39"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=17,533,89=1,94
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,936⋅ 17,55⋅ 14⋅ 16=8,26
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 142+2⋅ 162−52=14,824 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 162+2⋅ 52−142=9,566 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 52+2⋅ 142−162=6,819
Vypočítať ďaľší trojuholník