Trojuholník 5 14 17

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 5
b = 14
c = 17

Obsah trojuholníka: S = 30,59441170816
Obvod trojuholníka: o = 36
Semiperimeter (poloobvod): s = 18

Uhol ∠ A = α = 14,89876656557° = 14°53'52″ = 0,26600133166 rad
Uhol ∠ B = β = 46,04330532762° = 46°2'35″ = 0,80436028773 rad
Uhol ∠ C = γ = 119,0599281068° = 119°3'33″ = 2,07879764597 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 12,23876468326
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 4,37105881545
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 3,59993078919

Ťažnica: t_a = 15,37704261489
Ťažnica: t_b = 10,39223048454
Ťažnica: t_c = 6,18546584384

Polomer vpísanej kružnice: r = 1.76996731712
Polomer opísanej kružnice: R = 9,72440917006

Súradnice vrcholov: A[17; 0] B[0; 0] C[3,47105882353; 3,59993078919]
Ťažisko: T[6,82435294118; 1.21997692973]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8,5; -4,72331302546]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4; 1.76996731712]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 165,10223343443° = 165°6'8″ = 0,26600133166 rad
∠ B' = β' = 133,95769467238° = 133°57'25″ = 0,80436028773 rad
∠ C' = γ' = 60,9410718932° = 60°56'27″ = 2,07879764597 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 5 b = 14 c = 17

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 5 + 14 + 17 = 36

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 6}{2} = 18

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 18 (18 - 5) (18 - 14) (18 - 17) S = 936 = 30, 59

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 0 , 5 9}{5} = 12, 24 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 0 , 5 9}{1 4} = 4, 37 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 0 , 5 9}{1 7} = 3, 6

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 4 ^{2} + 1 7 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 1 4 \cdot 1 7}) = 14 ° 5 3^{'} 52 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 1 7 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 1 7}) = 46 ° 2^{'} 35 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 14 ° 5 3^{'} 52 " - 46 ° 2^{'} 35 " = 119 ° 3^{'} 33 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 0 , 5 9}{1 8} = 1, 7

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 \cdot 1 4 \cdot 1 7}{4 \cdot 1 , 7 \cdot 1 8} = 9, 72

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 15, 37 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 10, 392 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 6, 185

Vypočítať ďaľší trojuholník