Trojuholník 6 16 21

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 6
b = 16
c = 21

Obsah trojuholníka: S = 30,27327187415
Obvod trojuholníka: o = 43
Semiperimeter (poloobvod): s = 21,5

Uhol ∠ A = α = 10,38111039012° = 10°22'52″ = 0,18111844431 rad
Uhol ∠ B = β = 28,71993267538° = 28°43'10″ = 0,50112468108 rad
Uhol ∠ C = γ = 140.98995693451° = 140°53'58″ = 2,45991613997 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 10,09109062472
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 3,78440898427
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 2,88331160706

Ťažnica: t_a = 18,42655257727
Ťažnica: t_b = 13,21098448136
Ťažnica: t_c = 5,97991303716

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,40880334298
Polomer opísanej kružnice: R = 16,64986533405

Súradnice vrcholov: A[21; 0] B[0; 0] C[5,26219047619; 2,88331160706]
Ťažisko: T[8,7543968254; 0,96110386902]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10,5; -12,92200486861]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 1,40880334298]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 169,61988960988° = 169°37'8″ = 0,18111844431 rad
∠ B' = β' = 151,28106732462° = 151°16'50″ = 0,50112468108 rad
∠ C' = γ' = 39.11004306549° = 39°6'2″ = 2,45991613997 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 6 b = 16 c = 21

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 6 + 16 + 21 = 43

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 3}{2} = 21, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 21, 5 (21, 5 - 6) (21, 5 - 16) (21, 5 - 21) S = 916, 44 = 30, 27

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 0 , 2 7}{6} = 10, 09 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 0 , 2 7}{1 6} = 3, 78 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 0 , 2 7}{2 1} = 2, 88

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 6 ^{2} + 2 1 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 1 6 \cdot 2 1}) = 10 ° 2 2^{'} 52 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{6 ^{2} + 2 1 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 2 1}) = 28 ° 4 3^{'} 10 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 10 ° 2 2^{'} 52 " - 28 ° 4 3^{'} 10 " = 140 ° 5 3^{'} 58 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 0 , 2 7}{2 1 , 5} = 1, 41

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{6 \cdot 1 6 \cdot 2 1}{4 \cdot 1 , 4 0 8 \cdot 2 1 , 5} = 16, 65

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 6 ^{2}}{2} = 18, 426 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 6 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 13, 21 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 5, 979

Vypočítať ďaľší trojuholník