Trojuholník 6 17 18

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 6
b = 17
c = 18

Obsah trojuholníka: S = 50,99993872512
Obvod trojuholníka: o = 41
Semiperimeter (poloobvod): s = 20,5

Uhol ∠ A = α = 19,47109772519° = 19°28'16″ = 0,34398326616 rad
Uhol ∠ B = β = 70,81098855373° = 70°48'36″ = 1,23658656456 rad
Uhol ∠ C = γ = 89,71991372109° = 89°43'9″ = 1,56658943464 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 176,9997957504
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 65,9999279119
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 5,66765985835

Ťažnica: t_a = 17,24881883107
Ťažnica: t_b = 10,3880269746
Ťažnica: t_c = 9,02877350426

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,48877749879
Polomer opísanej kružnice: R = 99,0001081334

Súradnice vrcholov: A[18; 0] B[0; 0] C[1,97222222222; 5,66765985835]
Ťažisko: T[6,65774074074; 1,88988661945]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9; 0,04441181771]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,5; 2,48877749879]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 160,52990227482° = 160°31'44″ = 0,34398326616 rad
∠ B' = β' = 109,19901144628° = 109°11'24″ = 1,23658656456 rad
∠ C' = γ' = 90,28108627891° = 90°16'51″ = 1,56658943464 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 6 b = 17 c = 18

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 6 + 17 + 18 = 41

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 1}{2} = 20, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 20, 5 (20, 5 - 6) (20, 5 - 17) (20, 5 - 18) S = 2600, 94 = 51

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 1}{6} = 17 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 1}{1 7} = 6 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 1}{1 8} = 5, 67

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 7 ^{2} + 1 8 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 1 7 \cdot 1 8}) = 19 ° 2 8^{'} 16 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{6 ^{2} + 1 8 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 1 8}) = 70 ° 4 8^{'} 36 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 19 ° 2 8^{'} 16 " - 70 ° 4 8^{'} 36 " = 89 ° 4 3^{'} 9 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 1}{2 0 , 5} = 2, 49

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{6 \cdot 1 7 \cdot 1 8}{4 \cdot 2 , 4 8 8 \cdot 2 0 , 5} = 9

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 6 ^{2}}{2} = 17, 248 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 6 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 10, 38 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 9, 028

Vypočítať ďaľší trojuholník