Trojuholník 6 19 24

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 6
b = 19
c = 24

Obsah trojuholníka: S = 35,30549217532
Obvod trojuholníka: o = 49
Semiperimeter (poloobvod): s = 24,5

Uhol ∠ A = α = 8,9087873456° = 8°54'28″ = 0,15554717212 rad
Uhol ∠ B = β = 29,3633334592° = 29°21'48″ = 0,5122486868 rad
Uhol ∠ C = γ = 141,72987919521° = 141°43'44″ = 2,47436340644 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 11,76883072511
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 3,7166307553
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 2,94220768128

Ťažnica: t_a = 21,43659511102
Ťažnica: t_b = 14,68884308216
Ťažnica: t_c = 7,38224115301

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,44110172144
Polomer opísanej kružnice: R = 19,37440692808

Súradnice vrcholov: A[24; 0] B[0; 0] C[5,22991666667; 2,94220768128]
Ťažisko: T[9,74330555556; 0,98106922709]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12; -15,21103438652]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 1,44110172144]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 171,0922126544° = 171°5'32″ = 0,15554717212 rad
∠ B' = β' = 150,6376665408° = 150°38'12″ = 0,5122486868 rad
∠ C' = γ' = 38,27112080479° = 38°16'16″ = 2,47436340644 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 6 b = 19 c = 24

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 6 + 19 + 24 = 49

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 9}{2} = 24, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 24, 5 (24, 5 - 6) (24, 5 - 19) (24, 5 - 24) S = 1246, 44 = 35, 3

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 5 , 3}{6} = 11, 77 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 5 , 3}{1 9} = 3, 72 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 5 , 3}{2 4} = 2, 94

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 9 ^{2} + 2 4 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 1 9 \cdot 2 4}) = 8 ° 5 4^{'} 28 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{6 ^{2} + 2 4 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 2 4}) = 29 ° 2 1^{'} 48 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 8 ° 5 4^{'} 28 " - 29 ° 2 1^{'} 48 " = 141 ° 4 3^{'} 44 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 5 , 3}{2 4 , 5} = 1, 44

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{6 \cdot 1 9 \cdot 2 4}{4 \cdot 1 , 4 4 1 \cdot 2 4 , 5} = 19, 37

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 ^{2} + 2 \cdot 2 4 ^{2} - 6 ^{2}}{2} = 21, 436 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 ^{2} + 2 \cdot 6 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2} = 14, 688 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 ^{2} + 2 \cdot 1 9 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2} = 7, 382

Vypočítať ďaľší trojuholník