Trojuholník 7 10 16
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 7
b = 10
c = 16
Obsah trojuholníka: S = 22,57107221861
Obvod trojuholníka: o = 33
Semiperimeter (poloobvod): s = 16,5
Uhol ∠ A = α = 16,38876115035° = 16°23'15″ = 0,28660177773 rad
Uhol ∠ B = β = 23,76989007051° = 23°46'8″ = 0,41548455769 rad
Uhol ∠ C = γ = 139,84334877914° = 139°50'37″ = 2,44107292994 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 6,44987777674
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 4,51441444372
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 2,82113402733
Ťažnica: ta = 12,87443931896
Ťažnica: tb = 11,29215897906
Ťažnica: tc = 3,24403703492
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,36879225567
Polomer opísanej kružnice: R = 12,40554515266
Súradnice vrcholov: A[16; 0] B[0; 0] C[6,406625; 2,82113402733]
Ťažisko: T[7,469875; 0,94404467578]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8; -9,48113093811]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,5; 1,36879225567]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 163,61223884965° = 163°36'45″ = 0,28660177773 rad
∠ B' = β' = 156,23110992949° = 156°13'52″ = 0,41548455769 rad
∠ C' = γ' = 40,15765122086° = 40°9'23″ = 2,44107292994 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7 b=10 c=16
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=7+10+16=33
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=233=16,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=16,5(16,5−7)(16,5−10)(16,5−16) S=509,44=22,57
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 22,57=6,45 vb=b2 S=102⋅ 22,57=4,51 vc=c2 S=162⋅ 22,57=2,82
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 10⋅ 16102+162−72)=16°23′15" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 1672+162−102)=23°46′8" γ=180°−α−β=180°−16°23′15"−23°46′8"=139°50′37"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=16,522,57=1,37
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,368⋅ 16,57⋅ 10⋅ 16=12,41
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 102+2⋅ 162−72=12,874 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 162+2⋅ 72−102=11,292 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 102−162=3,24
Vypočítať ďaľší trojuholník