Trojuholník 7 11 17

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 7
b = 11
c = 17

Obsah trojuholníka: S = 24,43774200766
Obvod trojuholníka: o = 35
Semiperimeter (poloobvod): s = 17,5

Uhol ∠ A = α = 15,15109401512° = 15°9'3″ = 0,26444337904 rad
Uhol ∠ B = β = 24,25496286025° = 24°14'59″ = 0,42332358615 rad
Uhol ∠ C = γ = 140,59994312463° = 140°35'58″ = 2,45439230017 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 6,98221200219
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 4,44331672867
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 2,87549905972

Ťažnica: t_a = 13,88334433769
Ťažnica: t_b = 11,77992189894
Ťažnica: t_c = 3,57107142143

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,39664240044
Polomer opísanej kružnice: R = 13,39113481445

Súradnice vrcholov: A[17; 0] B[0; 0] C[6,38223529412; 2,87549905972]
Ťažisko: T[7,79441176471; 0,95883301991]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8,5; -10,34878599299]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,5; 1,39664240044]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 164,84990598488° = 164°50'57″ = 0,26444337904 rad
∠ B' = β' = 155,75503713975° = 155°45'1″ = 0,42332358615 rad
∠ C' = γ' = 39,40105687537° = 39°24'2″ = 2,45439230017 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 7 b = 11 c = 17

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 7 + 11 + 17 = 35

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 5}{2} = 17, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 17, 5 (17, 5 - 7) (17, 5 - 11) (17, 5 - 17) S = 597, 19 = 24, 44

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 4 , 4 4}{7} = 6, 98 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 4 , 4 4}{1 1} = 4, 44 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 4 , 4 4}{1 7} = 2, 87

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 1 7 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 1 7}) = 15 ° 9^{'} 3 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 1 7 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 1 7}) = 24 ° 1 4^{'} 59 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 15 ° 9^{'} 3 " - 24 ° 1 4^{'} 59 " = 140 ° 3 5^{'} 58 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 4 , 4 4}{1 7 , 5} = 1, 4

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 1 1 \cdot 1 7}{4 \cdot 1 , 3 9 6 \cdot 1 7 , 5} = 13, 39

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 13, 883 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 11, 779 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 3, 571

Vypočítať ďaľší trojuholník