Trojuholník 7 12 17
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 7
b = 12
c = 17
Obsah trojuholníka: S = 34,46773758792
Obvod trojuholníka: o = 36
Semiperimeter (poloobvod): s = 18
Uhol ∠ A = α = 19,75499227956° = 19°45' = 0,34547011798 rad
Uhol ∠ B = β = 35.44001726253° = 35°24'1″ = 0,61878495681 rad
Uhol ∠ C = γ = 124,85499045791° = 124°51' = 2,17990419057 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 9,84878216798
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 5,74545626465
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 4,05549853976
Ťažnica: ta = 14,2921605928
Ťažnica: tb = 11,53325625947
Ťažnica: tc = 4,92444289009
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,91548542155
Polomer opísanej kružnice: R = 10,35876205294
Súradnice vrcholov: A[17; 0] B[0; 0] C[5,70658823529; 4,05549853976]
Ťažisko: T[7,5698627451; 1,35216617992]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8,5; -5,91986403025]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6; 1,91548542155]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 160,25500772044° = 160°15' = 0,34547011798 rad
∠ B' = β' = 144.65998273747° = 144°35'59″ = 0,61878495681 rad
∠ C' = γ' = 55,1550095421° = 55°9' = 2,17990419057 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7 b=12 c=17
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=7+12+17=36
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=236=18
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=18(18−7)(18−12)(18−17) S=1188=34,47
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 34,47=9,85 vb=b2 S=122⋅ 34,47=5,74 vc=c2 S=172⋅ 34,47=4,05
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 17122+172−72)=19°45′ b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 1772+172−122)=35°24′1" γ=180°−α−β=180°−19°45′−35°24′1"=124°51′
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1834,47=1,91
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,915⋅ 187⋅ 12⋅ 17=10,36
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 172−72=14,292 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 172+2⋅ 72−122=11,533 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 122−172=4,924
Vypočítať ďaľší trojuholník